Rumus Dasar
1. f(x) = sin x → f ‘(x) = cos x
2. f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
3. f(x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
4. f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc2 x
5. f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
6. f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x
Setiap fungsi trigonometri yang dimulai dengan huruf c, maka turunannya akan bernilai negatif.
Perluasan Rumus
Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u’ adalah turunan u terhadap x, maka :
1. f(x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
2. f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
3. f(x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
4. f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
5. f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
6. f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’
Penyelesaian :
Misalkan :
u = 4x ⇒ u’ = 4
y’ = cos u . u’
y’ = cos 4x . 4
y’ = 4cos 4x
Contoh 2
Misalkan :
u = x2 ⇒ u’ = 2x
y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x2 . 2x
y’ = −2x sin x2
Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (2x+1)
Penyelesaian :
Misalkan :
u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2
y’ = sec2u . u’
y’ = sec2(2x+1) . 2
y’ = 2sec2(2x+1)
Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x
Penyelesaian :
Misalkan :
u = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x ⇒ u’ = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
y’ = sec u tan u . u’
y’ = sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x . \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
y’ = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x
Turunan y = [u(x)]n
Misalkan y = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut :
$$\mathrm{y’=n\left [ u(x) \right ]^{n-1}.u'(x)}$$
Contoh 5
Tentukan turunan dari y = cos57x
Penyelesaian :
y = [cos 7x]5
Misalkan :
u(x) = cos 7x ⇒ u'(x) = −7sin 7x
n = 5
y’ = n[u(x)]n-1. u'(x)
y’ = 5[cos 7x]5-1. −7sin 7x
y’ = −35 cos47x . sin 7x
Contoh 6
Tentukan turunan dari y = sin7(4x−3)
Penyelesaian :
y = [sin (4x−3)]7
Misalkan :
u(x) = sin (4x−3) ⇒ u'(x) = 4cos (4x−3)
n = 7
y’ = n[u(x)]n-1. u'(x)
y’ = 7[sin (4x−3)]7-1 . 4cos (4x−3)
y’ = 28 sin6(4x−3) cos (4x−3)
Catatan
Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari trigonometri.
Latihan Soal Turunan Fungsi Trigonometri
Latihan 1
Tentukan turunan dari y = sin x2
y’ = cos x2 . 2x
Tentukan turunan dari y = cos (3x+1)
Jawab :
y’ = −sin (3x+1) . 3
y’ = −3sin (3x+1)
Latihan 3
Tentukan turunan dari f(x) = tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x
Jawab :
f ‘(x) = sec2\(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x . \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
f ‘(x) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)sec2\(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x
Latihan 4
Tentukan turunan y = sin (x2+3x−1)
Jawab :
y’ = cos (x2+3x−1) . (2x+3)
y’ = (2x+3) cos(x2+3x−1)
Latihan 5
Tentukan turunan dari y = sec 2x
Jawab :
y’ = sec 2x tan 2x . 2
y’ = 2sec 2x tan 2x
Latihan 6
Tentukan turunan dari y = cos (2x+1)4
Jawab :
y’ = −sin (2x+1)4 . 4(2x+1)4-1 . 2
y’ = −8(2x+1)3 sin(2x+1)4
Latihan 7
Tentukan turunan dari y = tan53x
Jawab :
y’ = 5tan43x . sec23x . 3
y’ = 15 tan43x sec23x
Latihan 8
Tentukan turunan dari y = cos4(5x+2)
Jawab :
y’ = 4cos3(5x+2) . −sin (5x+2) . 5
y’ = −20 cos3(5x+2) sin(5x+2)
Latihan 9
Tentukan turunan y = sin6(x2+3x)
Jawab :
y’ = 6 sin5(x2+3x) . cos(x2+3x). (2x + 3)
y’ = 6(2x + 3) sin5(x2+3x) . cos(x2+3x)
Latihan 10
Tentukan f ‘(x) dari :
a. f(x) = 3sin 2x + 4cos x
a. Jawab :
a. f ‘(x) = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x
a. f ‘(x) = 6cos 2x − 4sin x
b. f(x) = tan 2x − csc x
b. Jawab :
b. f ‘(x) = sec22x . 2 − (−csc x ctg x)
b. f ‘(x) = 2sec22x + csc x ctg x
c. f(x) = sec 4x + tan (x+1)
c. Jawab :
c. f ‘(x) = sec 4x tan 4x . 4 + sec2(x+1) . 1
c. f ‘(x) = 4sec 4x tan 4x + sec2(x + 1)
Latihan 11
Tentukan turunan dari y = x2 cos 2x
Jawab :
Misalkan :
u = x2 ⇒ u’ = 2x
v = cos 2x ⇒ v’ = −2 sin 2x
y’ = u’.v + u.v’
y’ = 2x . cos 2x + x2 . −2 sin 2x
y’ = 2x cos 2x − 2x2 sin 2x
y’ = 2x(cos 2x − x sin 2x)
Latihan 12
Tentukan turunan dari f(x) = (1 + sin2x)7
u(x) = (1 + sin2x) ⇒ u'(x) = 2sin x cos x
n = 7
f ‘(x) = 7(1 + sin2x)7-1 . 2sin x cos x
f ‘(x) = 7 (1 + sin2x)6 . sin 2x
f ‘(x) = 7sin 2x (1 + sin2x)6