Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.
Himpunan Penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1 : Tentukan pembuat nol dengan merubah tanda pertidaksamaan menjadi “sama dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh adalah pembuat nol.
Langkah 2 : Gambar pembuat nol pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda untuk masing-masing interval dengan mensubstitusi sembarang bilangan yang terletak pada tiap-tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) jika hasil substitusi bernilai positif dan tulis (−) jika hasil substitusi bernilai negatif.
Catatan :
Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling (+)(−)(+) atau (−)(+)(−), kecuali jika akar-akar yang diperoleh sama (kembar)
Tips :
Jika akar-akar yang diperoleh berbeda, cukup dicari tanda pada satu interval saja, sisanya tinggal ditulis berselang-seling mengikuti pola diatas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar perhitungan lebih mudah (jika nol bukan merupakan pembuat nol).
Langkah 3 : Tentukan daerah penyelesaian (arsiran).
Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥”, daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif (+).
Untuk pertidaksamaan “<” atau “≤”, daerah pernyelesaian berada pada interval yang bertanda negatif (−).
Langkah 4 : Tulis himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.
HP terletak pada ujung-ujung interval
Contoh 1
Tentukan HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0
Penyelesaian :
Pembuat nol.:
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0
x² − 2x − 3 = (0)² − 2(0) − 3 = −3 (−)
Karena pertidaksamaan bertanda “≥” , maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}
Contoh 2
Tentukan HP dari −x² − 3x + 4 > 0
Penyelesaian :
Pembuat nol :
−x² − 3x + 4 = 0
x² + 3x − 4 = 0
(x + 4)(x − 1) = 0
x = −4 atau x = 1
Untuk interval −4 < x < 1, ambil x = 0
−x² − 3x + 4 = −(0)² − 3(0) + 4 = 4 (+)
Karena pertidaksamaan bertanda “>” , maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−4 < x < 1}
Contoh 3
x(3x + 1) < (x + 1)² − 1
Penyelesaian :
Terlebih dahulu ubah ke dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
x(3x + 1) < (x + 1)² − 1
⇔ 3x² + x < x² + 2x + 1 − 1
⇔ 2x² − x < 0
Pembuat nol :
2x² − x = 0
x(2x − 1) = 0
x = 0 atau x = \(\frac{1}{2}\)
Untuk interval x > \(\frac{1}{2}\) ambil x = 1
2x² − x = 2(1)² − 1 = 1 (+)
Karena pertidaksamaan bertanda “<” , maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x < \(\frac{1}{2}\)}
Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut :
Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa :
Untuk interval x < p atau x > q kurvanya berada diatas sumbu-x sehingga nilai fungsi pada interval tersebut bernilai positif (> 0)
Untuk interval p < x < q kurvanya berada dibawah sumbu-x sehingga nilai fungsi pada interval tersebut bernilai negatif (< 0)
Berdasarkan uraian diatas, himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat dapat pula ditentukan dengan konsep berikut :
Misalkan pembuat nol suatu pertidaksamaan kuadrat dengan a > 0 adalah p dan q. Untuk p < q, berlaku :
- Jika pertidaksamaan bertanda “>”, maka $$\mathrm{HP=\left \{ x<p\;atau\;x>q \right \}}$$
- Jika pertidaksamaan bertanda “<“, maka $$\mathrm{HP=\left \{ p<x<q \right \}}$$
Perlu diperhatikan bahwa konsep diatas berlaku untuk a > 0. Jika a bernilai negatif, maka terlebih dahulu kalikan kedua ruas dengan negatif (−).
Dengan menggunakan konsep diatas, contoh-contoh sebelumnya dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.
(1) x² − 2x − 3 ≥ 0
Pembuat nol :
x² − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka
HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}
(2) −x² − 3x + 4 > 0
Kalikan kedua ruas dengan (−) :
x² + 3x − 4 < 0
Pembuat nol :
x² + 3x − 4 = 0
(x + 4)(x − 1) = 0
x = −4 atau x = 1
Karena pertidaksamaan bertanda “<“, maka
HP = {−4 < x < 1}
(3) 2x² − x < 0
Pembuat nol :
2x² − x = 0
x(2x − 1) = 0
x = 0 atau x = \(\frac{1}{2}\)
Karena pertidaksamaan bertanda “<“, maka
HP = {0 < x < \(\frac{1}{2}\)}