Persamaan Lingkaran Pada Ilmu Matematika

Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari r adalah

Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah

Persamaan diatas sering disebut dengan bentuk baku persamaan lingkaran.

Contoh 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut!
a.  x² + y² = 9

    Jawab :
    P(0,0)
    r = √9 = 3

b.  4x² + 4y² = 100

    Jawab :
    4x² + 4y² = 100  ⇔  x² + y² = 25
    P(0, 0)
    r = √25 = 5

c.  (x − 1)² + (y − 2)² = 12

    Jawab :
    P(1, 2)
    r = √12 = 2√3

d.  (x + 3)² + (y − 4)² = 16

     Jawab :
     P(−3, 4)
     r = √16 = 4

Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :
a.  P(0, 0) ; r = 7

    Jawab :
    x² + y² = 7²
    x² + y² = 49

b.  P(2, −2) ; r = 3√2

    Jawab :
    (x − 2)² + (y + 2)² = (3√2)²
    (x − 2)² + (y + 2)² = 18

Selain dalam bentuk baku diatas, persamaan lingkaran dapat pula dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut :

dengan pusat dan jari-jarinya adalah

Contoh 3
Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di P(−1, 3) dengan jari-jari 7 !

Jawab :
(x + 1)² + (y − 3)² = 7²
x² + 2x + 1 + y² − 6y + 9 = 49
x² + y² + 2x − 6y − 39 = 0

Contoh 4
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x+2y-15=0}\) !

Jawab :
A = −6 ; B = 2 ; C = −15

Pusat lingkaran :
P\(\mathrm{(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})}\)
P\(\mathrm{(-\frac{(-6)}{2},-\frac{2}{2})}\) ⇔ P(3, −1)

Jari-jari lingkaran :
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{(-6)^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{4}-(-15)}}\) = 5

Latihan Soal Persamaan Lingkaran

Latihan 1
Persamaan lingkaran yang berpusat di (−2, 1) dan melalui titik (1, 5) adalah…

Jawab :

Persamaan lingkaran dengan pusat (−2, 1) dan jari-jari r adalah :
(x + 2)² + (y − 1)² = r²

Lingkaran melalui titik (1, 5) sehingga :
(1 + 2)² + (5 − 1)² = r²
25 = r²

Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)² + (y − 1)² = 25

atau dalam bentuk umum :
x² + y² + 4x − 2y − 20 = 0

Latihan 2
Jika diameter suatu lingkaran adalah AB dengan titik A(4, 5) dan B(0, −3), tentukan persamaan lingkaran tersebut !

Jawab :

Diameter adalah jarak titik A ke titik B :
d = AB = \(\mathrm{\sqrt{(4-0)^{2}+(5-(-3))^{2}}}\) = \(\sqrt{80}\)

Jari-jari adalah setengah dari diameter :
r = \(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{80}\)

Pusat lingkaran adalah titik tengah AB :
P\(\left ( \frac{4+0}{2},\frac{5+(-3)}{2} \right )\) ⇔ P(2, 1)

Jadi, persamaan lingkaran :
(x − 2)² + (y − 1)² = \(\left (\frac{1}{2}\sqrt{80}  \right )^{2}\)
(x − 2)² + (y − 1)² = 20

atau dalam bentuk umum :
x² + y² − 4x − 2y − 15 = 0

Latihan 3
Persamaan lingkaran yang berpusat di (−2, 3) dan menyinggung garis \(\mathrm{x+2y+6=0}\) adalah…

Jawab :

INGAT :
Jarak titik (x₁, x₂) ke garis \(\mathrm{ax+by+c=0}\) adalah
d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)

Jari-jari adalah jarak dari titik pusat (−2, 3) ke garis \(\mathrm{x+2y+6=0}\).
r = \(\mathrm{\left | \frac{1(-2)+2(3)+6}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}} \right |}\) = 2\(\sqrt{5}\)

Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)² + (y − 3)² = \(\left ( 2\sqrt{5}  \right )^{2}\)
(x + 2)² + (y − 3)² = 20

atau dalam bentuk umum :
x² + y² + 4x − 6y − 7 = 0

Latihan 4
Jika garis y = 2x + p menyinggung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x-4y+8=0}\), tentukan nilai p !

Jawab :

Substitusi y = 2x + p ke persamaan lingkaran :
x² + y² − 6x − 4y + 8 = 0
x² + (2x + p)² − 6x − 4(2x + p) + 8 = 0
5x² + (4p − 14)x + p² − 4p + 8 = 0

Garis menyinggung lingkaran, maka :
D = 0
b² − 4ac = 0
(4p − 14)² − 4.5.(p² − 4p + 8) = 0
p² + 8p − 9 = 0
(p + 9)(p − 1) = 0
p = −9 atau p = 1

Latihan 5
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3, 4) dan lingkaran tersebut
a. menyinggung sumbu-x
b. menyinggung sumbu-y

Jawab :

a.  P(3, 4) dan menyinggung sumbu-x, maka
     r = 4

     Persamaan lingkaran :
     (x − 3)² + (y − 4)² = 4²
     (x − 3)² + (y − 4)² = 16

     atau dalam bentuk umum :
     x² + y² − 6x − 8y + 9 = 0

b.  P(3, 4) dan menyinggung sumbu-y, maka
     r = 3

     Persamaan lingkaran :
     (x − 3)² + (y − 4)² = 3²
     (x − 3)² + (y − 4)² = 9

     atau dalam bentuk umum :
     x² + y² − 6x − 8y + 16 = 0

Latihan 6
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis \(\mathrm{y=x+4}\) serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y positif !

Jawab :

Lingkaran menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y positif, sehingga pusatnya dapat ditulis :
P(−a, b) dengan a = b.

Karena P(−a, b) terletak pada garis \(\mathrm{y=x+4}\) maka
b = −a + 4

Karena a = b maka
b = −a + 4
a = −a + 4
a = 2

Diperoleh a = b = 2

Sehingga pusat lingkaran tersebut adalah :
P(−a, b) ⇔ P(−2, 2)

Karena lingkaran menyinggung kedua sumbu, maka
r = |a| = |b| = 2

Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)² + (y − 2)² = 2²
(x + 2)² + (y − 2)² = 4

atau dalam bentuk umum :
x² + y² + 4x − 4y + 4 = 0