Persamaan Garis
Persamaan garis yang melalui titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\) dengan gradien m adalah : $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik \((1, 4)\) dengan m = 3 adalah
y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1
Gradien Garis
- y = ax + b ⇒ m = a
- ax + by + c = 0 ⇒ m = \(\mathrm{-\frac{a}{b}}\)
Contoh :
- y = −2x + 1 ⇒ m = −2
- 6x − 2y + 3 = 0 ⇒ m = \(\mathrm{-\frac{6}{-2}}\) = 3
Gradien garis yang melalui titik \(\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}\) dan \(\mathrm{\left ( x_{2},y_{2} \right )}\) adalah :
Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
$$\mathrm{m=tan\:\alpha}$$
Gradien Garis A dan B :
- Sejajar : \(\mathrm{m_{A}=m_{B}}\)
- Tegak lurus : \(\mathrm{m_{A}\cdot m_{B}=-1}\)
Persamaan Garis Singgung Kurva
Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva
Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{2}+2x}\) dititik \((1,\:3)\) adalah …
Jawab :
Titik singgung : (1, 3)
f(x) = x2 + 2x ⇒ f ‘(x) = 2x + 2
m = f ‘(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4
PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1
Contoh 2
y = −8
⇒ m = −10
y = −10x + 12
Jawab :
Ordinat (y) = 2
y = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)
f(x) = 2√x ⇒ f ‘(x) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)
m = f ‘(1) = \(\frac{1}{\sqrt{1}}\)
⇒ m = 1
PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1
Contoh 4
Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{2}+5}\) yang sejajar dengan garis \(\mathrm{2x-y+3=0}\) adalah
m1 = gradien garis
m2 = gradien garis singgung
2x − y + 3 = 0 ⇒ m1 = 2
y = x2 + 5
y = 6
y = 2x + 4
m1 = gradien garis
m2 = gradien garis singgung
4y = x + 1 ⇒ m1 = \(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{4}\) . m2 = −1
⇒ m2 = −4
y = 3 − x2
y = −1
y = −4x + 7
⇒ m = \(\frac{1}{4}\)
y = \(\frac{1}{4}\)x − 1
m1 = gradien garis
m2 = gradien garis singgung
mn = gradien garis normal
x + 4y − 5 = 0 ⇒ m1 = \(-\frac{1}{4}\)
⇒ mn = \(-\frac{1}{4}\)
y = (2)2
y = 4
y − 4 = \(-\frac{1}{4}\)x + \(\frac{1}{2}\)
x + 4y − 18 = 0
y2 = x
Titik potong P dan Q :
Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)
⇒ mP = −2
y = −2x + 3
y = 4x − 12
y = x2 − 4x + 6
1 = (2)2 − 4(2) + 6
1 ≠ 2
Karena tidak memenuhi persamaan kurva, maka titik (2, 1) bukan titik singgung.
Cari titik singgung pada kurva sehingga garis singgungnya melalui titik (2, 1).
f(x) = x2 − 4x + 6 ⇒ f ‘(x) = 2x − 4
m = f ‘(x)
⇒ m = 2x − 4
y = 2x2 − 8x + 9
mB = f ‘(3) = 2(3) − 4 = 2
y = −2x + 5
y = 2x − 3
y = \(\mathrm{\sqrt{\frac{1}{4}}}\)
y = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
\(\mathrm{y=x+\frac{1}{4}}\) atau 4x − 4y + 1 = 0
y = x2 − 4x − 3 + 2a
y = (4)2 − 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3
⇒ mk = 4
$$\mathrm{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$
⇒ a = −2
y = 9
Dari persamaan (2) :
4a + b = 4