Perkalian Titik (Dot Product) : Yuk Belajar Matematika

Jika a berlawanan arah dengan b, maka
a ‧ b = -|a| |b|

Jika θ lancip (0 < θ < 90°), maka
a ‧ b > 0

Jika θ tumpul (90° < θ < 180°), maka
a ‧ b < 0

Contoh 4
Diketahui u = [3 , 1 , -2] dan v = [4 , 0 , k]. Tentukan k agar kedua vektor tersebut saling tegak lurus.

Jawab :
Agar u tegak lurus v, haruslah u ‧ v = 0

\(\begin{align}
\mathbf{u\cdot v} &=0 \\
3\cdot 4+1\cdot 0+(-2)k&=0 \\
12-2k&=0 \\
12 &=2k \\
k&=6
\end{align}\)

Panjang dari Jumlah atau Selisih Dua Vektor

Diberikan dua vektor a dan b, dengan θ adalah sudut antara vektor a dan b. Jika c = a + b, maka
c ‧ c = (a + b) ‧ (a + b)
c ‧ c = a ‧ a  +  b ‧ b  +  2 a ‧ b

Karena c ‧ c = |c|² ,  a ‧ a = |a|² , dan  b ‧ b = |b|² , persamaan diatas menjadi
|c|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b

Jika kita substitusikan kembali c = a + b, maka akan kita peroleh

Karena  a ‧ b = |a| |b| cos θ, persamaan diatas dapat pula ditulis menjadi

Dengan cara yang sama, untuk c = a – b, akan diperoleh

atau

Uraian-uraian diatas, dapat pula kita tuliskan sebagai berikut.

1.  Jika c = a + b, maka berlaku

2.  Jika c = a – b, maka berlaku

dimana |a|, |b| dan |c| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan c.

Contoh 5
Diketahui |a| = 5, |b| = 3 dan |a – b| = 2√6. Apabila a dan b membentuk sudut lancip sebesar α, tentukan nilai sin α

Jawab :
|a – b|² = |a|² + |b|² – 2 |a| |b| cos α
(2√6)² = (5)² + (3)² – 2 (5) (3) cos α
24 = 34 – 30 cos α
30 cos α = 10
cos α = \(\frac{1}{3}\)    ⟶   sin α = \(\frac{2}{3}\)√2

Contoh 6
Diketahui |a| = 2√2, |b| = 10 dan a ‧ b = 4. Apabila a = b – c, maka a ‧ c = …

Jawab :
Karena a = b – c, maka c = b – a. Akibatnya
|c|² = |b|² + |a|² – 2 b ‧ a
|c|² = (10)² + (2√2)² – 2 (4)
|c|² = 100
|c| = 10

Karena a = b – c, maka b = a + c. Akibatnya
|b|² = |a|² + |c|² – 2 a ‧ c
(10)² = (2√2)² + (10)² + 2 a ‧ c
2 a ‧ c = -8
a ‧ c = -4

Soal Latihan dan Pembahasan

Latihan 1
Diketahui tiga buah titik A(2, -4, -2), B(3, -4, -1) dan C(4, -3, -1). Jika p dan q berturut-turut adalah wakil dari vektor AB dan BC, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh p dan q.

Jawab :
AB = [3, -4, -1] – [2, -4, -2]
AB = [1, 0, 1]

BC = [4, -3, -1] – [3, -4, -1]
BC = [1, 1, 0]

Diperoleh
p = AB = [1, 0, 1]
q = BC = [1, 1, 0]

Misalkan sudut antara p dan q adalah α.
\(\begin{align}
\mathrm{Cos\,\alpha} &=\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\mathbf{|p|\,|q|}} \\
&=\frac{1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}} \\
&=\frac{1}{2}
\end{align}\)

Karena cos α = 1/2, maka α = 60°

Latihan 2
Diketahui |a| = 3, |b| = 5 dan |a + b| = 2√13 . Tentukan |a – b|

Jawab :
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2 a ‧ b
(2√13)² = (3)² + (5)² + 2 a ‧ b
52 = 9 + 25 + 2 a ‧ b
2 a ‧ b = 18

|a – b|² = |a|² + |b|² – 2 a ‧ b
|a – b|² = (3)² + (5)² – 18
|a – b|² = 16
|a – b| = 4

Latihan 3
Diketahui tiga vektor u, v dan w, dengan  |u| = 4 , |w| = √13 dan u ‧ v = 6. Jika v = u + w dan sudut antara v dan w adalah β, maka sin²β = …

Jawab :
Karena v = u + w, maka w = v – u . Akibatnya
|w|² = |v|² + |u|² – 2 v ‧ u
(√13)² = |v|² + (4)² – 2 (6)
13 = |v|² + 4
|v|² = 9
 |v| = 3

Karena v = u + w, maka u = v – w . Akibatnya
|u|² = |v|² + |w|² – 2 v ‧ w
(4)² = (3)² + (√13)² – 2 v ‧ w
 2 v ‧ w = 6
v ‧ w = 3

Sudut antara v dan w adalah β, sehingga
\(\begin{align}
\mathrm{cos}\,\beta =\mathbf{\frac{v\cdot w}{\left | v \right |\,\left | w \right |}}=\frac{3}{3\cdot \sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}
 \end{align}\)

Berdasarkan identitas phythagoras :
\(\begin{align}
sin^{2}\beta &=1-cos^{2}\beta \\
& = 1-\left ( \frac{1}{\sqrt{13}} \right )^{2} \\
& = 1-\frac{1}{13} \\
& = \frac{12}{13}
 \end{align}\)

Latihan 4
Dari suatu segitiga sama sisi ABC diketahui A(2, -1) dan B(4, 1). Tentukan koordinat titik C yang mungkin

Jawab :
Misalkan koordinat titik C adalah (x, y)
AB = [4, 1] – [2, -1] = [2, 2]
AC = [x, y] – [2, -1] = [x – 2 , y + 1]

Panjang AB dan AC berturut-turut :
|AB| = √(2² + 2²) = √8
|AC| = √((x – 2)² + (y + 1)²) = √(x² + y² – 4x + 2y + 5)

Karena ABC sama sisi, maka |AC| = |AB|.
√(x² + y² – 4x + 2y + 5) = √8
x² + y² – 4x + 2y + 5 = 8
x² + y² – 4x + 2y – 3 = 0   ……………………………..(1)

Karena AB = [2, 2] dan AC = [x – 2, y + 1] maka
AB ‧ AC = 2(x – 2) + 2(y + 1)
AB ‧ AC = 2x – 4 + 2y + 2
AB ‧ AC = 2x + 2y – 2   ………………………………..(2)

Karena ABC sama sisi, maka sudut antara AB dan AC adalah 60°. Akibatnya,
AB ‧ AC = |AB| |AC| cos 60°
AB ‧ AC = √8 √8 \(\frac{1}{2}\)
AB ‧ AC = 4   ………………………………………………..(3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh hubungan
2x + 2y – 2 = 4
2x + 2y = 6
x + y = 3
y = 3 – x   …………………………………………………….(4)

Subsitusi persamaan (4) ke persamaan (1)
x² + (3 – x)² – 4x + 2(3 – x) – 3 = 0
x² + 9 – 6x + x² – 4x + 6 – 2x – 3 = 0
2x² – 12x + 12 = 0
x² – 6x + 6 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh
x = 3 + √3   atau   x = 3 – √3

Substitusikan nilai -nilai x ke persamaan (4) :
Untuk x = 3 + √3   →   y = -√3
Untuk x = 3 – √3   →   y = √3

Jadi, koordinat titik C yang mungkin adalah
C(3 + √3 , -√3)   atau   C(3 – √3 , √3)