Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Jika berbicara tentang dasar trigonometri, mutlak kita akan berhadapan dengan segitiga siku-siku, karena trigonometri itu sendiri didefinisikan berdasarkan konsep kesebangunan pada segitiga siku-siku.

Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ.

Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan “depan”, sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan “samping” dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan “miring”, maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
$$\mathrm{sin(\theta )=\frac{{\color{Red} de}pan}{{\;\color{Red} mi}ring\;\;}\;\;\;\;csc(\theta )=\frac{{\color{Red} mi}ring}{{\;\;\color{Red} de}pan\;\;}}$$ $$\mathrm{cos(\theta )=\frac{{\color{Red} sa}mping}{{\color{Red} mi}ring}\;\;\;\;sec(\theta )=\frac{{\color{Red} mi}ring}{{\color{Red} sa}mping}}$$ $$\mathrm{tan(\theta )=\frac{{\color{Red} de}pan}{{\color{Red} sa}mping}\;\;\;\;cot(\theta )=\frac{{\color{Red} sa}mping}{{\color{Red} de}pan}}$$
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen

Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.

Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :

Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis $$\mathrm{csc(\theta )=\frac{1}{sin(\theta )}}$$ Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis $$\mathrm{sec(\theta )=\frac{1}{cos(\theta )}}$$ Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis $$\mathrm{cot(\theta )=\frac{1}{tan(\theta )}}$$
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis $$\mathrm{tan(\theta )=\frac{sin(\theta )}{cos(\theta )})}$$ sehingga $$\mathrm{cot(\theta )=\frac{cos(\theta )}{sin(\theta )}}$$

Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !

Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABC
AC = \(\sqrt{\left (\sqrt{3} \right )^{2}+1^{2}}\) = 2

Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{AB}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
cos(α) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
tan(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{AB}{BC}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{1}}\) = \(\sqrt{3}\)
csc(α) = \(\mathrm{\frac{miring}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{AC}{AB}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\) = \(\mathrm{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
sec(α) = \(\mathrm{\frac{miring}{smping}}\) = \(\mathrm{\frac{AC}{BC}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{1}}\) = 2
cot(α) = \(\mathrm{\frac{samping}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{BC}{AB}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

Perhatikan segitiga PQR
QR = \(\sqrt{\left (\sqrt{2} \right )^{2}-1^{2}}\) = 1

Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{QR}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
cos(β) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{PQ}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
tan(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{QR}{PQ}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1
csc(β) = \(\mathrm{\frac{miring}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{PR}{QR}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{2}}{1}}\) = \(\sqrt{2}\)
sec(β) = \(\mathrm{\frac{miring}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{PR}{PQ}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{2}}{1}}\) = \(\sqrt{2}\)
cot(β) = \(\mathrm{\frac{samping}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{PQ}{QR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1

Contoh 2
Jika tan(α) = \(\sqrt{3}\) dan α sudut lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{sin^{2}(\alpha )+cos^{2}(\alpha)}\)

Penyelesaian :
tan(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)

Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan = \(\sqrt{3}\)
samping = 1

Dengan teorema phytagoras
miring = \(\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}\) = 2

Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) =  \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cos(α) = \(\frac{1}{2}\)

sin²(α) + cos²(α) = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))² + (\(\frac{1}{2}\))²
sin²(α) + cos²(α) = \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)
sin²(α) + cos²(α) = 1

Jadi, sin²(α) + cos²(α) = 1

Contoh 3
Jika sin(β) = \(\frac{1}{2}\) dan sudut β lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{sec^{2}(\beta) -tan^{2}(\beta) }\)

Penyelesaian :
sin(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\frac{1}{2}\)

depan = 1
miring = 2
samping = \(\sqrt{2^{2}-1^{2}}\) = \(\sqrt{3}\)

Sesuai definisi
sec(β) = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
tan(β) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

sec²(β) − tan²(β) = (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\))² − (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\))²
sec²(α) − tan²(α) = \(\frac{4}{3}\) − \(\frac{1}{3}\)
sec²(α) − tan²(α) = 1

Jadi, sec²(β) − tan²(β) = 1

Contoh 4
Jika cos(γ) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{csc^{2}(\gamma ) -cot^{2}(\gamma ) }\)

Penyelesaian :
cos(γ) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
samping = \(\sqrt{2}\)
miring = 2
depan = \(\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\) = \(\sqrt{2}\)

Sesuai definisi
csc(γ) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)
cot(γ) = \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = 1

csc²(γ) − cot²(γ) = (\(\frac{2}{\sqrt{2}}\))²  − (1)²
csc²(γ) − cot²(α) = 2 − 1
csc²(γ) − cot²(α) = 1

Jadi, csc²(γ) − cot²(γ) = 1

Contoh 5
Diberikan segitiga ABC \(\mathrm{\perp B}\) dengan \(\mathrm{\angle A=\alpha }\) dan \(\mathrm{\angle C=\beta }\). Tunjukkan bahwa \(\mathrm{sin(\alpha )=cos(90^{\circ}-\alpha) }\) dan \(\mathrm{cos(\beta )=sin(90^{\circ}-\beta) }\)

Penyelesaian :

Sesuai definisi, maka
sin(α) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\)
cos(β) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\)

Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β)  ………………………………..(1)

∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β  ………………………..(2)

Contoh 6
Diketahui segitiga ABC \(\mathrm{\perp B}\). Titik D terletak pada BC sehingga \(\mathrm{CD=1}\). Jika \(\mathrm{\angle ADB=\alpha }\) dan \(\mathrm{\angle ACB=\beta }\), tunjukkan bahwa \(\mathrm{AB=\frac{tan(\alpha )\;tan(\beta )}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)

Penyelesaian :

Perhatikan segitiga ABD
tan(α) = \(\mathrm{\frac{AB}{BD}}\)
⇔ AB = BD tan(α)  …………………………..(1)

Perhatikan segitiga ABC
tan(β) = \(\mathrm{\frac{AB}{BD+1}}\)
⇔ AB = (BD + 1) tan(β)  …………………..(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)
BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)
BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)
BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)
BD = \(\mathrm{\frac{tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)  …………………………….(3)

Substitusi (3) ke (1)
AB = \(\mathrm{\frac{tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\) tan(α)

diperoleh
AB = \(\mathrm{\frac{tan(\alpha )tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)