Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Ada beberapa konsep yang digunakan untuk membuktikan rumus-rumus persamaan garis singgung lingkaran, diantaranya :

• Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah $$\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$
• Gradien garis $$\mathrm{m=\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$
• Misalkan g adalah garis singgung lingkaran dan r adalah ruas garis yang melalui pusat dan titik singgung lingkaran, maka $$\mathrm{g\perp r}$$
• Garis g tegak lurus terhadap r maka $$\mathrm{m_{g}\cdot m_{r}=-1}$$
• Persamaan garis yang melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m adalah $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$

Bukti :

Persamaan lingkaran di atas adalah
x² + y² = r²  ……. (1)

Gradien dari r adalah
m_r = \(\mathrm{\frac{y}{x}}\)

Karena \(\mathrm{g\perp r}\), maka
m_g . m_r = −1
m_g . \(\mathrm{\frac{y}{x}}\) = −1
m_g = \(\mathrm{-\frac{x}{y}}\)

Garis singgung g melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m_g, maka
y − y₁ = m_g(x − x₁)
y − y₁ = \(\mathrm{-\frac{x}{y}}\)(x − x₁)
y(y − y₁) = −x(x − x₁)
y² − y₁ y =  −x² + x₁ x
x₁ x + y₁ y = x² + y²

Substitusi persamaan (1) pada ruas kanan persamaan diatas diperoleh
x₁ x + y₁ y = r²
Terbukti !!!

Bukti :

Persamaan lingkaran di atas adalah :
(x − a)² + (y − b)² = r²

Karena (x₁, y₁) terletak pada lingkaran maka
(x₁ − a)² + (y₁ − b)² = r²  ……… (1)

Gradien dari r adalah
m_r = \(\mathrm{\frac{y_{1}-b}{x_{1}-a}}\)

Karena \(\mathrm{g\perp r}\), maka
m_g . m_r = −1
m_g . \(\mathrm{\frac{y_{1}-b}{x_{1}-a}}\) = −1
m_g = \(\mathrm{-\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}}\)

Garis singgung g melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m_g, maka
y − y₁ = m_g(x − x₁)
y − y₁ = \(\mathrm{-\frac{x_{1}-a}{y_{1}-b}}\)(x − x₁)
⇔ (y₁ − b)(y − y₁) = −(x₁ − a)(x − x₁)
⇔ (y₁ − b){(y − b) − (y₁ − b)} = −(x₁ − a){(x − a) − (x₁ − a)}
⇔ (y₁ − b)(y − b) − (y₁ − b)² = −(x₁ − a)(x − a) + (x₁ − a)²
⇔ (x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = (x₁ − a)² + (y₁ − b)²

Substitusi persamaan (1) pada ruas kanan persamaan diatas diperoleh
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
Terbukti !!!

Bukti :
Persamaan lingkaran
x² + y² = r²  ……………… (1)

Misalkan persamaan garis singgung
y = mx + n  ………………..(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
x² + y² = r²
x² + (mx + n)² = r²
x² + m²x² + 2mnx + c² − r² = 0
(1 + m²)x² + 2mnx + c² − r² = 0

Karena garis menyinggung lingkaran, maka secara aljabar berlaku
D = 0
b² − 4ac = 0
b² = 4ac
(2mn)² = 4.(1 + m²).(n² − r²)
4m²n² = 4(n² − r² + m²n² − m²r²)
m²n² = n² − r² + m²n² − m²r²
n² = r² + m²r²
n² = r² (1 + m²)
n = ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)

Substitusi n ke persamaan (2) diperoleh
y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
Terbukti !!!

Bukti :
Persamaan diatas dapat dibuktikan dengan cara dan langkah-langkah yang sama dengan pembuktian sebelumnya. Namun untuk pembuktian kali ini kita akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda, yaitu pada persamaan garis yang digunakan.

Persamaan lingkaran
(x − a)² + (y − b)² = r²  ……………… (1)

Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa :
Garis p melalui titik (a, b) dengan gradien m sehingga
y − b = m(x − a)

Garis g diperoleh dengan menggeser garis p tanpa merubah gradiennya, sehingga garis g dapat dinyatakan sebagai berikut
y − b = m(x − a) + n  ……………………(2)

Langkah selanjutnya adalah menentukan n sehingga garis g menyinggung lingkaran.

Dari persamaan (1) dan (2)
(x − a)² + (y − b)² = r²
(x − a)² + (m(x − a) + n)² = r²
(x − a)² + m²(x − a)² + 2mn(x − a) + n² = r²
(1 + m²)(x − a)² + 2mn(x − a) + n² − r² = 0

Misalkan p = x − a, maka
(1 + m²)p² + 2mnp + n² − r² = 0

Agar garis g menyinggung lingkaran maka haruslah diskriminan PK diatas bernilai nol
D = 0
b² − 4ac = 0
b² = 4ac
(2mn)² = 4.(1 + m²).(n² − r²)
4m²n² = 4(n² − r² + m²n² − m²r²)
m²n² = n² − r² + m²n² − m²r²
n² = r² + m²r²
n² = r² (1 + m²)
n = ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)

Substitusi n ke persamaan (2) diperoleh
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
Terbukti !!!