Pembahasan Soal UN Garis Singgung Kurva

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan Persamaan Garis Singgung Kurva.

1.  UN 2006
Persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=\sqrt[3]{5+x}}\) di titik dengan absis 3 adalah…
A.  x − 12y + 21 = 0
B.  x − 12y +23 = 0
C.  x − 12y + 27 = 0
D.  x − 12y + 34 = 0
E.  x − 12y + 27 = 0

Pembahasan :
y = (5 + x)\(^{\frac{1}{3}}\)
Untuk absis 3  →  y = (5 + 3)\(^{\frac{1}{3}}\) = 2
Diperoleh titik singgung : (3, 2)

f(x) = (5 + x)\(^{\frac{1}{3}}\)  →  f‘(x) = \(\mathrm{\frac{1}{3(5+x)^{\frac{2}{3}}}}\)
m = f‘(3) = \(\mathrm{\frac{1}{3(5+3)^{\frac{2}{3}}}}\) = \(\frac{1}{12}\)

Persamaan garis singgung di titik (3, 2) dengan gradien m = \(\frac{1}{12}\) adalah
y − 2 = \(\frac{1}{12}\)(x − 3)
12(y − 2) = x − 3
12y − 24 = x − 3
x − 12y + 21 = 0

Jawaban : A

2.  UN 2009
Garis singgung di titik (2, p) pada kurva \(\mathrm{y=2\sqrt{x+2}}\) memotong sumbu x di titik…
A. (−10, 0)
B.  (−6, 0)
C.  (−2, 0)
D.  (2, 0)
E.  (6, 0)

Pembahasan :
y = 2(x + 2)\(^{\frac{1}{2}}\)

Untuk x = 2  →  y = 2(2 + 2)\(^{\frac{1}{2}}\) = 4
Diperoleh titik singgung : (2, 4)

f(x) = 2(x + 2)\(^{\frac{1}{2}}\)  →  f‘(x) = \(\mathrm{\frac{1}{(x+2)^{\frac{1}{2}}}}\)
m = f‘(2) = \(\mathrm{\frac{1}{(2+2)^{\frac{1}{2}}}}\) = \(\frac{1}{2}\)

Persamaan garis singgung di titik (2, 4) dengan gradien m = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) adalah
y − 4 = \(\frac{1}{2}\)(x − 2)

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 − 4 = \(\frac{1}{2}\)(x − 2)
−8 = x − 2
x = −6

Diperoleh titik potong sumbu-x : (−6, 0)

Jawaban : C

3.  UN 2009
Garis l menyinggung kurva \(\mathrm{y=6\sqrt{x}}\) di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan sumbu x adalah…
A.  (4, 0)
B.  (−4, 0)
C.  (12, 0)
D.  (−6, 0)
E.  (6, 0)

Pembahasan :
y = 6x\(^{\frac{1}{2}}\)

Untuk absis 4  →  y = 6. 4\(^{\frac{1}{2}}\) = 12
Diperoleh titik singgung : (4, 12)

f(x) = 6x\(^{\frac{1}{2}}\)  →  f ‘(x) = \(\mathrm{\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}}\)
m = f‘(4) = \(\mathrm{\frac{3}{4^{\frac{1}{2}}}}\) = \(\frac{3}{2}\)

Persamaan garis singgung di titik (4, 12) dengan gradien m = \(\frac{3}{2}\) adalah
y − 12 = \(\frac{3}{2}\)(x − 4)

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 − 12 = \(\frac{3}{2}\)(x − 4)
−24 = 3x − 12
−12 = 3x
x = −4

Diperoleh titik potong sumbu-x : (−4, 0)

4.  UN 2010
Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik \(\mathrm{\left ( -1,\frac{9}{2} \right )}\) pada kurva \(\mathrm{y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{4}{x}}\) dengan sumbu y adalah…
A.  (0, −4)
B.  (0, \(-\mathrm{\frac{1}{2}}\))
C.  (0, \(\mathrm{\frac{9}{2}}\))
D.  (0, \(\mathrm{\frac{15}{2}}\))
E.  (0, 8)

Pembahasan :
Titik singgung : \(\mathrm{\left ( -1,\frac{9}{2} \right )}\)

f(x) = \(\frac{1}{2}\)x² − 4x^-1  →  f‘(x) = x + \(\mathrm{\frac{4}{x^{2}}}\)
m = f‘(−1) = \(\mathrm{-1+\frac{4}{(-1)^{2}}}\) = 3

Persamaan garis singgung di titik \(\mathrm{\left ( -1,\frac{9}{2} \right )}\) dengan gradien m = 3 adalah
y − \(\frac{9}{2}\) = 3(x − (−1))
y = 3(x + 1) + \(\frac{9}{2}\)

Titik potong sumbu-y ⇒ x = 0
y = 3(0 + 1) + \(\frac{9}{2}\)
y = \(\frac{15}{2}\)

Diperoleh titik potong sumbu-y : (0, \(\frac{15}{2}\))

Jawaban : D

5.  UN 2010
Diketahui h adalah garis singgung kurva \(\mathrm{y=x^{3}-4x^{2}+2x-3}\) pada titik (1, −4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah…
A.  (−3, 0)
B.  (−2, 0)
C.  (−1, 0)
D.  \(\left (-\frac{1}{2},0  \right )\)
E.  \(\left (-\frac{1}{3},0  \right )\)

Pembahasan :
Titik singgung : (1, −4)

f(x) = x³ − 4x² + 2x − 3  →  f‘(x) = 3x² − 8x + 2
m = f‘(1) = 3(1)² − 8(1) + 2 = −3

Persamaan garis singgung di titik (1, −4) dengan gradien m = −3 adalah
y − (−4)) = −3(x − 1)
y + 4 = −3x + 3

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 + 4 = −3x + 3
3x = −1
x = \(-\frac{1}{3}\)

Diperoleh titik potong sumbu-x : (\(-\frac{1}{3}\), 0)

Jawaban : E

6.  UN 2016
Salah satu persamaan garis singgung kurva \(\mathrm{y=2x^{2}-3x+5}\) pada titik yang berordinat 4 adalah…
A.  y = x − 5
B.  y = x − 3
C.  y = x − 1
D.  y = x + 3
E.  y = x + 5

Pembahasan :
y = 2x² − 3x + 5

Untuk ordinat 4 maka
4 = 2x² − 3x + 5
2x² − 3x + 1 = 0
(2x − 1)(x − 1) = 0
x = \(\frac{1}{2}\) atau x = 1

Untuk x = \(\frac{1}{2}\)  →  y = 2(\(\frac{1}{2}\))² − 3(\(\frac{1}{2}\)) + 5 = 4
Untuk x = 1  →  y = 2(1)² − 3(1) + 5 = 4

Diperoleh titik singgung :
A(\(\frac{1}{2}\), 4) dan  B(1, 4)

f(x) = 2x² − 3x + 5  →  f‘(x) = 4x − 3
m_A = f‘(\(\frac{1}{2}\)) = 4(\(\frac{1}{2}\)) − 3 = −1
m_B = f ‘(1) = 4(1) − 3 = 1

Persamaan garis singgung di titik A\(\mathrm{\left ( \frac{1}{2},\,4 \right )}\) dengan gradien m_A = −1 adalah
y − 4 = −1\(\mathrm{\left ( x-\frac{1}{2} \right )}\)
⇒  y = \(\mathrm{-x+\frac{9}{2}}\)

Persamaan garis singgung di titik B(1, 4) dengan gradien m_B = 1 adalah
y − 4 = 1(x −1)
⇒ y = x + 3

Jawaban : D

7.  UN 2017
Diketahui grafik fungsi y = 2x² – 3x + 7 berpotongan dengan garis y = 4x + 1. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah …
A.  y = 5x + 7
B.  y = 5x – 1
C.  y = x + 5
D.  y = 3x – 7
E.  y = 3x + 5

Pembahasan :
Titik potong kurva dan garis diperoleh dari persamaan
2x² – 3x + 7 = 4x + 1
2x² – 7x + 6 = 0
(2x – 3)(x – 2) = 0
x = \(\frac{3}{2}\)  atau  x = 2

Untuk x = \(\frac{3}{2}\)  →  y = 4(\(\frac{3}{2}\)) + 1 = 7
Untuk x = 2   →  y = 4(2) + 1 = 9

Diperoleh titik potong kurva dan garis :
(\(\frac{3}{2}\), 7)  dan  (2, 9)

f(x) = 2x² – 3x + 7  → f'(x) = 4x – 3

Gradien garis singgung dititik (\(\frac{3}{2}\), 7) adalah
m = f'(\(\frac{3}{2}\)) = 4(\(\frac{3}{2}\)) – 3 = 3
Jadi, PGS di titik (\(\frac{3}{2}\), 7) adalah
y – 7 = 3(x – \(\frac{3}{2}\))
y – 7 = 3x – \(\frac{9}{2}\)
y = 3x + \(\frac{5}{2}\)

Gradien garis singgung di titik (2, 9) adalah
m = f'(2) = 4(2) – 3 = 5
Jadi, PGS di titik (2, 9) adalah
y – 9 = 5(x – 2)
y – 9 = 5x – 10
y = 5x – 1

Jawaban : B