Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan Fungsi Kuadrat yang meliputi grafik fungsi kuadrat dan menyusun fungsi kuadrat.
Grafik fungsi kuadrat
D > 0 : grafik memotong sumbu-x di dua titik
D = 0 : grafik menyinggung sumbu-x
D < 0 ; grafik tidak memotong sumbu-x
dengan D = b2 − 4ac
Definit positif : a > 0 dan D < 0
Definit negatif : a < 0 dan D < 0
- Diketahui titik puncak (xp, yp) dan melalui titik (x, y). $$\mathrm{y=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}}$$
- Memotong sumbu-x di (x1, 0 ) dan (x2, 0 ) dan melalui titik (x, y). $$\mathrm{y=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$$
- Grafik melalui tiga titik. $$\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}$$
1. UN 2008
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah…
A. y = x2 − 2x + 1
B. y = x2 − 2x + 3
C. y = x2 − 2x − 1
D. y = x2 + 2x + 1
E. y = x2 − 2x − 3
Pembahasan :
Diketahui titik balik (xp, yp) = (1, 2)
dan melalui titik (x, y) = (2, 3)
y = a(x − xp)2 + yp
3 = a(2 − 1)2 + 2
3 = a + 2
⇒ a = 1
y = 1 (x − 1)2 + 2
y = x2 − 2x + 1 + 2
y = x2 − 2x + 3
Jawaban : B
2. UN 2009
Jika m > 0 dan grafik f(x) = x2 − mx + 5 menyinggung garis y = 2x + 1, maka nilai m = …
A. −6
B. −2
C. 6
D. 2
E. 8
Pembahasan :
Misalkan :
y1 = x2 − mx + 5
y2 = 2x + 1
y1 = y2
x2 − mx + 5 = 2x + 1
x2 − mx − 2x + 5 − 1 = 0
x2 − (m + 2)x + 4 = 0
a = 1
b = −(m + 2)
c = 4
Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b2 − 4ac = 0
(−(m + 2))2 − 4 (1) (4) = 0
m2 + 4m + 4 − 16 = 0
Jawaban : D
3. UN 2010
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah…
A. −4
B. −3
C. 0
D. 3
E. 4
Pembahasan :
Misalkan :
y1 = x2 + bx + 4
y2 = 3x + 4
y1 = y2
x2 + bx + 4 = 3x + 4
x2 + bx − 3x = 0
x2 + (b − 3)x = 0
a = 1
b = b − 3
c = 0
Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b2 − 4ac = 0
(b − 3)2 − 4(1)(0) = 0
(b − 3)2 = 0
b = 3
Jawaban : D
4. UN 2011
Grafik y = px2 + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah…
A. p < −2 atau p > \(-\frac{2}{5}\)
B. p < \(\frac{2}{5}\) atau p > 2
C. p < 2 atau p > 10
D. \(\frac{2}{5}\) < p < 2
E. 2 < p < 10
Pembahasan :
a = p
b = p + 2
c = −p + 4
Parabola memotong sumbu-x di dua titik :
D > 0
b2 − 4ac > 0
(p + 2)2 − 4(p)(−p + 4) > 0
p2 + 4p + 4 + 4p2 − 16p > 0
5p2 − 12p + 4 > 0
Pembuat nol :
5p2 − 12p + 4 = 0
(5p − 2)(p − 2) = 0
p = \(\frac{2}{5}\) atau p = 2
Pertidaksamaan bertanda “>”, maka :
HP = {p < \(\frac{2}{5}\) atau p > 2}
Jawaban : B
5. UN 2013
Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x2 − 2mx + m − 3 definit negatif adalah…
A. m < \(-\frac{3}{2}\)
B. m < −1
C. m > \(\frac{3}{2}\)
D. m > 1
E. 1 < m < \(\frac{3}{2}\)
Pembahasan :
a = m + 1
b = −2m
c = m − 3
Syarat definit negatif :
a < 0
m + 1 < 0
m < −1 …………………..(1)
D < 0
b2 − 4ac < 0
(−2m)2 − 4(m + 1)(m − 3) < 0
4m2 − 4(m2 − 2m − 3) < 0
4m2 − 4m2 + 8m + 12 < 0
8m + 12 < 0
8m < −12
2m < −3
m < \(-\frac{3}{2}\) …………………..(2)
Irisan (1) dan (2) :
m < \(-\frac{3}{2}\)
Jawaban : A
6. UN 2013
Fungsi f(x) = 2x2 − ax + 2 akan menjadi fungsi definit positif bila nilai a berada pada interval…
A. a > −4
B. a > 4
C. −4 < a < 4
D. 4 < a < 6
E. −6 < a < 4
Pembahasan :
a = 2
b = −a
c = 2
Syarat definit positif :
a > 0
2 > 0 (memenuhi)
D < 0
b2 − 4ac < 0
(−a)2 − 4(2)(2) < 0
a2 − 16 < 0
Pembuat nol :
a2 − 16 = 0
(a + 4)(a − 4) = 0
a = −4 atau a = 4
Pertidaksamaan bertanda “<“, maka :
HP = {−4 < a < 4}
Jawaban : C
7. UN 2016
Diketahui fungsi f(x) = (a + 1)x2 − 2ax + a − 2 definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah…
A. a < 2
B. a > −2
C. a < −1
D. a < −2
E. a > 1
Pembahasan :
a = a + 1
b = −2a
c = a − 2
Syarat definit negatif :
a < 0
a + 1 < 0
a < −1 …………………………..(1)
D < 0
b2 − 4ac < 0
(−2a)2 − 4(a + 1)(a − 2) < 0
4a2 − 4(a2 − a − 2) < 0
4a2 − 4a2 + 4a + 8 < 0
4a + 8 < 0
4a < −8
a < −2 …………………………….(2)
Irisan (1) dan (2) :
a < −2
Jawaban : D
8. UN 2017
Jika grafik fungsi y = 2x2 + (p – 1)x + 2 menyinggung sumbu X, nilai p yang memenuhi adalah …
A. p = 5 atau p = 2
B. p = -5 atau p = 2
C. p = 5 atau p = 3
D. p = -5 atau p = 3
E. p = 5 atau p = -3
Pembahasan :
Dari grafik fungsi diatas diperoleh :
a = 2, b = p – 1 dan c = 2
Grafik menyinggung sumbu X, maka D = 0.
b2 − 4ac = 0
(p – 1)2 − 4(2)(2) = 0
p2 − 2p + 1 – 16 = 0
9. UN 2018
Diketahui grafik fungsi kuadrat seperti pada gambar. Koordinat titik potong grafik dengan sumbu x adalah
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0)
C. (1, 0) dan (-8, 0)
D. (1, 0) dan (8, 0)
E. (2, 0) dan (8, 0)
Pembahasan :
Diketahui titik puncak (xp, yp) = (9/2, -49/4)
\(\begin{align}
\mathrm{y=a\left ( x-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4}\;\;\;\;\;……….(1)}
\end{align}\)
Grafik melalui titik (x, y) = (0, 8)
\(\begin{align}
8&=\mathrm{a}\left ( 0-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4} \\
8&=\mathrm{\frac{81}{4}a-\frac{49}{4}} \\
32&=\mathrm{81a-49} \\
81&=\mathrm{81a} \\
\mathrm{a}&=1
\end{align}\)
Substitusi a = 1, ke persamaan (1)
\(\begin{align}
\mathrm{y}&=\mathrm{1\left ( x-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4}} \\
\mathrm{y}&=\mathrm{x^{2}-9x+\frac{81}{4}-\frac{49}{4}} \\
\mathrm{y}&=\mathrm{x^{2}-9x+8} \\
\end{align}\)
Titik potong sumbu-x → y = 0
\(\begin{align}
0&=\mathrm{x^{2}-9x+8} \\
0&=\mathrm{(x-1)(x-8)} \\
\mathrm{x}&=1\;\;\mathrm{atau\;\;x=8}
\end{align}\)
Diperoleh titik potong sumbu-x
(1, 0) dan (8, 0)
Jawaban : D