Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Dimensi Tiga yang meliputi jarak atau sudut antara titik, garis dan bidang.
Berikut beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan :
1. UN 2008
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis AC adalah …
A. 8β3
B. 8β2
C. 4β6
D. 4β3
E. 4β2
Pembahasan :
Jarak titik H ke garis AC adalah OH.
rusuk = a = 8
OH = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = \(\frac{8}{2}\)β6 = 4β6
Jawaban : C
2. UN 2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG. Jarak titik B ke garis PQ adalah …
A. β22 cm
B. β21 cm
C. 2β5 cm
D. β19 cm
E. 3β2 cm
Pembahasan :
Jarak titik B ke garis PQ adalah BR.
rusuk = a = 4
BP = BQ = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = \(\frac{4}{2}\)β6 = 2β6
PQ = \(\mathrm{\sqrt{PS^{2}+SQ^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}}\)
BPQ sama kaki sehingga :
PR = RQ = \(\frac{1}{2}\)PQ = \(\frac{1}{2}\)(2β2) = β2
Perhatikan segitiga BPR siku-siku di R
BR = \(\mathrm{\sqrt{BP^{2}-PR^{2}}}\)
BR = \(\mathrm{\sqrt{\left (2\sqrt{6} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}}\)
BR = \(\mathrm{\sqrt{22}}\)
Jawaban : A
3. UN 2011
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …
A. 4β6 cm
B. 4β5 cm
C. 4β3 cm
D. 4β2 cm
E. 4 cm
Pembahasan :
Jarak titik M ke garis AG adalah MO
a = 8
Perhatikan bahwa garis MN dan AG berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik O, sehingga
MO = \(\frac{1}{2}\). MN
MO = \(\frac{1}{2}\). aβ2
MO = \(\frac{1}{2}\). 8β2
MO = 4β2
Jawaban : D
4. UN 2007
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6β3 cm. Jarak Bidang ACH dan EGB adalah …
A. 4β3 cm
B. 2β3 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
E. 12 cm
Pembahasan :
Jarak bidang ACH dan EGB = jarak garis OH dan BR = jarak titik P dan Q β PQ.
rusuk = a = 6β3
OH = BR = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = 9β2
OR = a = 6β3
HF = aβ2 = 6β6
HR = \(\frac{1}{2}\) Γ HF = 3β6
DF = aβ3 = 18
Perhatikan bidang BDHF
OHRB adalah jajar genjang dengan alas OH dan tinggi PQ
Ingat : luas jajar genjang \(\mathrm{=alas\times tinggi}\)
Luas jajar genjang OHRB = 2 Γ luas βΏ OHR
OH Γ PQ = 2 Γ \(\frac{1}{2}\)ΓHRΓOR
OH Γ PQ = HR Γ OR
9β2 Γ PQ = 3β6 Γ 6β3
β PQ = 6
atau
DP = PQ = QF = \(\frac{1}{3}\) Γ DF
DP = PQ = QF = \(\frac{1}{3}\) Γ 18
β PQ = 6
Jawaban : D
5. UN 2009
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus adalah 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah …
A. 6β2 cm
B. 9β2 cm
C. 12β2 cm
D. 16β2 cm
E. 18β2 cm
Pembahasan :
Jarak titik P ke bidang BDHF = jarak titik P ke garis BD β PQ.
rusuk = a = 12
CP : DP = 1 : 3 β DC : CP = 2 : 1
DC = 12 β CP = 6
DP = DC + CP = 12 + 6 =18
BD = aβ2 = 12β2
Perhatikan segitiga BDP
Dengan menggunakan rumus luas segitiga diperoleh :
\(\frac{1}{2}\) Γ BD Γ PQ = \(\frac{1}{2}\) Γ DP Γ BC
BD Γ PQ = DP Γ BC
12β2 Γ PQ = 18 Γ 12
β PQ = 9β2
Jawaban : B
6. UN 2012
Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah …
A. \(\frac{2}{3}\)β3 cm
B. \(\frac{4}{3}\)β3 cm
C. \(\frac{11}{3}\)β3 cm
D. \(\frac{8}{3}\)β3 cm
E. \(\frac{13}{3}\)β3 cm
Pembahasan :
Jarak titik H ke bidang ACF = jarak titik H ke garis OF = jarak titik H ke titik P β HP.
rusuk = a = 4
OF = OH = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = 2β6
FH = aβ2 = 4β2
OQ = a = 4
Perhatikan segitiga OFH
HP dan OQ merupakan garis tinggi, sehingga dengan menggunakan rumus luas segitiga akan diperoleh persamaan sebagai berikut ;
\(\frac{1}{2}\)ΓOFΓHP = \(\frac{1}{2}\)ΓFHΓOQ
OF Γ HP = FH Γ OQ
2β6 Γ HP = 4β2 Γ 4
β HP = \(\mathrm{\frac{8}{3}}\)β3
HP = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) Γ HB
HP = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) Γ aβ3
HP = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) Γ 4β3
HP = \(\mathrm{\frac{8}{3}}\)β3
Jawaban : D
7. UN 2013
Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke CE adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)β3 cm
B. \(\frac{1}{2}\)β6 cm
C. 3β3 cm
D. 2β6 cm
E. 4β6 cm
Pembahasan :
Jarak B ke CE adalah BP
a = 6
BC = a = 6
BE = aβ2 = 6β2
CE = aβ3 = 6β3
Perhatikan Ξ BCE siku-siku di B
BP = \(\mathrm{\frac{BC\times BE}{CE}}\)
BP = \(\mathrm{\frac{6\times 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}}\)
BP = 2β6
Jawaban : D
8. UN 2014
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = …
A. \(\frac{1}{14}\)β14 cm
B. \(\frac{2}{3}\)β14 cm
C. \(\frac{3}{4}\)β14 cm
D. \(\frac{4}{3}\)β14 cm
E. \(\frac{3}{2}\)β14 cm
Pembahasan :
Jarak C ke AT adalah CP
AT = CT = 6
AC = 4β2
Perhatikan Ξ ACT
AP = \(\mathrm{\frac{AT^{2}+AC^{2}-CT^{2}}{2\times AT}}\)
AP = \(\mathrm{\frac{6^{2}+\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-6^{2}}{2\times 6}}\)
AP = \(\mathrm{\frac{8}{3}}\)
Perhatikan Ξ APC siku-siku di P
CP = \(\mathrm{\sqrt{AC^{2}-AP^{2}}}\)
CP = \(\mathrm{\sqrt{\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-\left ( \frac{8}{3} \right )^{2}}}\)
CP = \(\mathrm{\frac{4}{3}\sqrt{14}}\)
Jawaban : D
9. UN 2004
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah … cm.
A. 2β3
B. 4
C. 3β2
D. 2β6
E. 6
Pembahasan :
Jarak DH ke AS adalah HS, karena HS tegak lurus terhadap DH dan AS.
rusuk = a = 6
HF = aβ2 = 6β2
HS = \(\frac{1}{2}\). HF
HS = \(\frac{1}{2}\). 6β2
HS = 3β2
Jawaban : C
10. UN 2007
Diketahui sebuah kubus ABCD. EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan BDHF adalah …
A. 90Β°
B. 60Β°
C. 45Β°
D. 30Β°
E. 15Β°
Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh BG dengan BDHF adalah Ξ².
rusuk = a
BG = EG = aβ2
PG = \(\frac{1}{2}\) Γ EG = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β2
Perhatikan Ξ BPG siku-siku di P
sin Ξ² = \(\mathrm{\frac{PG}{BG}}\) = \(\mathrm{\frac{\frac{a}{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
Karena sin Ξ² = \(\frac{1}{2}\), maka Ξ² = 30Β°
Jawaban : D
11. UN 2008
Diketahui kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah Ξ±, maka sin Ξ± adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)β3
B. \(\frac{1}{2}\)β2
C. \(\frac{1}{3}\)β3
D. \(\frac{1}{2}\)E. \(\frac{1}{3}\)β2
Pembahasan :
Sudut antara AG dengan bidang alas ABCD adalah Ξ±.
rusuk = a = 6
CG = a = 6
AG = aβ3 = 6β3
Perhatikan Ξ ACG siku-siku di C
sin Ξ± = \(\mathrm{\frac{CG}{AG}}\) = \(\mathrm{\frac{6}{6\sqrt{3}}}\) = \(\frac{1}{3}\)β3
Jawaban : C
12. UN 2009
Balok ABCD. EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q terletak pada EG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika Ξ± adalah sudut antara PQ dengan ABCD, maka tan Ξ± adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)β5
B. \(\frac{1}{10}\)β10
C. \(\frac{1}{2}\)β10
D. \(\frac{1}{7}\)β14
E. \(\frac{1}{7}\)β35
Pembahasan :
Sudut antara PQ dengan ABCD adalah Ξ±.
QR = 5
PS = 3
BS = SR = RC = 1
PR = \(\mathrm{\sqrt{PS^{2}+SR^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}}\)
PR = \(\mathrm{\sqrt{10}}\)
Perhatikan Ξ PQR siku-siku di R
tan Ξ± = \(\mathrm{\frac{QR}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{5}{\sqrt{10}}}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{10}\)
Jawaban : C
13. UN 2012
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST, dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3β2 cm. Tangan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah …
A. \(\frac{1}{3}\)β3
B. β2
C. β3
D. 2β2
E. 2β3
Misalkan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ΞΈ.
QR = RS = ST = QT = 3
PQ = PR = PS = PT = 3β2
RT = aβ2 = 3β2
Perhatikan bahwa PRT adalah segitiga sama sisi karena
PR = RT = PT = 3β2
sehingga ΞΈ = 60Β°
tan ΞΈ = tan 60Β° = β3
Jawaban : C
14. UN 2013
Pada kubus ABCD. EFGH sudut ΞΈ adalah sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD. Nilai dari sin ΞΈ adalah …
A. \(\frac{1}{4}\)β3
B. \(\frac{1}{2}\)β3
C. \(\frac{1}{3}\)β6
D. \(\frac{1}{2}\)β2
E. \(\frac{1}{3}\)β3
Pembahasan :
Sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD adalah ΞΈ.
misalkan rusuk = a
AE = a
EO = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6
Perhatikan Ξ AOE siku-siku di A
sin ΞΈ = \(\mathrm{\frac{AE}{EO}}\) =\(\mathrm{\frac{a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{6}}\) = \(\frac{1}{3}\)β6
Jawaban : C
15. UN 2014
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah Ξ±. Nilai sin Ξ± adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)β2
B. \(\frac{1}{2}\)β3
C. \(\frac{1}{3}\)β3
D. \(\frac{2}{3}\)β2
E. \(\frac{3}{4}\)β3
Pembahasan :
Sudut antara AE dan bidang AFH adalah Ξ±
rusuk = a = 4
EG = aβ2 = 4β2
EO = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) Γ EG = 2β2
AO = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = 2β6
Perhatikan Ξ AEO siku-siku di E
sin Ξ± = \(\mathrm{\frac{EO}{AO}}\) = \(\mathrm{\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}\) = \(\frac{1}{3}\)β3
16. UN 2007
Diketahui bidang 4 beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah …
A. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{3}\)β3
D. \(\frac{2}{3}\)
E. \(\frac{1}{2}\)β3
Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang ABC dan ABD adalah ΞΈ.
Karena bangun diatas merupakan bidang empat beraturan, pastilah ke-4 bidangnya merupakan segitiga sama sisi.
rusuk (a) = 8
DC = a = 8
PC = PD = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β3 = 4β3
Perhatikan Ξ PCD, dengan aturan cosinus diperoleh :
cos ΞΈ = \(\mathrm{\frac{PC^{2}+PD^{2}-DC^{2}}{2\times PC\times PD}}\)
cos ΞΈ = \(\mathrm{\frac{\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}-8^{2}}{2\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}}}\)
cos ΞΈ = \(\frac{1}{3}\)
Jawaban : A
17. UN 2015
Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah…
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)β2
C. \(\frac{2}{3}\)β2
D. β2
E. 2β2
Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang AFH dan CFH adalah ΞΈ.
Perhatikan segitiga ACP
AP = CP = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = \(\frac{12}{2}\)β6 = 6β6
AC = aβ2 = 12β2
Dengan aturan cosinus
Cos ΞΈ = \(\mathrm{\frac{AP^{2}+CP^{2}-AC^{2}}{2\,.\,AP\,.\,CP}}\)
Cos ΞΈ = \(\mathrm{\frac{(6\sqrt{6})^{2}+(6\sqrt{6})^{2}-(12\sqrt{2})^{2}}{2\,.\,6\sqrt{6}\,.\,6\sqrt{6}}}\)
Cos ΞΈ = \(\frac{216+216-288}{432}\)
Cos ΞΈ = \(\frac{1}{3}\)
Cos ΞΈ = \(\frac{1}{3}\)
sisi samping = 1
sisi miring = 3
sisi depan = \(\sqrt{3^{2}-1^{2}}\) = β8 = 2β2
tan ΞΈ = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\frac{2\sqrt{2}}{1}\) = 2β2
Jadi, tangen sudut antara bidang AFH dan CFH adalah 2β2.
Jawaban : E
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan…
A. \(\frac{4}{5}\)β30 cm
B. \(\frac{2}{3}\)β30 cm
C. 2β5 cm
D. 2β3 cm
E. 2β2 cm
Pembahasan :
CM = EM = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β5 = \(\frac{4}{2}\)β5 = 2β5
CE = aβ3 = 4β3
MN = aβ2 = 4β2
Karena MN dan CE berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik Q, maka
MQ = \(\frac{1}{2}\)ΓMN = 2β2
Perhatikan segitiga CEM, β M adalah sudut tumpul karena CE2 > CM2 + EM2, sehingga jarak titik E ke CM adalah jarak dari titik E ke perpanjangan CM yaitu EP.
Dengan menggunakan rumus luas segitiga pada segitiga CEM akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
\(\frac{1}{2}\)ΓCMΓEP = \(\frac{1}{2}\)ΓCEΓMQ
CM Γ EP = CE Γ MQ
2β5 Γ EP = 4β3 Γ 2β2 (kali β5)
10 Γ EP = 8β30
EP = \(\frac{4}{5}\)β30
Jawaban : A
RALAT : 10/8/2017
Yang ditanyakan adalah jarak titik E ke CM, bukan jarak titik E ke perpanjangan CM.
CM adalah ruas garis, dengan titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2β5 (C)
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah…
A. \(\frac{8}{3}\)β2 cm
B. \(\frac{8}{3}\)β3 cm
C. \(\frac{8}{3}\)β6 cm
D. \(\frac{10}{3}\)β6 cm
E. 4β6 cm
Pembahasan :
Jarak titik E ke garis FD adalah EP.
EF = 8
DE = 8β2
DF = 8β3
EP = \(\mathrm{\frac{DE \times EF}{DF}}\)
EP = \(\mathrm{\frac{8\sqrt{2} \times 8}{8\sqrt{3}}}\)
EP = \(\frac{8}{3}\)β6
Jawaban : C
20. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah…
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)β3
C. \(\frac{1}{2}\)β2
D. \(\frac{1}{2}\)β3
E. \(\frac{1}{3}\)β6
Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh AH dengan BDHF adalah ΞΈ.
rusuk = a = 16 cm
AH = AC = aβ2 = 16β2
AP = \(\frac{1}{2}\)ΓAC = 8β2
Perhatikan Ξ AHP siku-siku di P
sin ΞΈ = \(\mathrm{\frac{AP}{AH}}\) = \(\mathrm{\frac{8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
Untuk Ujian Nasional matematika IPA tahun 2017, materi dimensi tiga dikeluarkan sebanyak 4 soal dalam satu paket.
21. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika Ξ± adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin Ξ± = …
A. 1/2
B. 1/3 β3
C. 1/2 β2
D. 1/2 β3
E. 2/3 β2
Pembahasan :
AC = aβ2 = 6β2
AP = \(\frac{1}{2}\). AC = 3β2
AO = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = 3β6
Perhatikan segitiga AOP siku-siku di P.
sin Ξ± = \(\mathrm{\frac{AP}{AO}}\) = \(\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\) = \(\frac{1}{3}\)β3
Jawaban : B
22. UN 2017
Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuknya 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah …
A. 2β2 cm
B. 2β3 cm
C. 3β2 cm
D. 3β3 cm
E. 4β3 cm
Pembahasan :
Jarak M ke LNQ = jarak M ke QS, yaitu MT.
SM = \(\frac{1}{2}\). KM = 3β2
MQ = 6
SQ = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = 3β6
Perhatikan segitiga SMQ siku-siku di M. Pada segitiga siku-siku, jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miringnya adalah hasil kali dari kedua sisi siku-siku dibagi sisi miring.
Jadi, MT = \(\mathrm{\frac{SM \,\cdot \,MQ}{SQ}}\) = \(\mathrm{\frac{6\, \cdot \,3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}}\) = 2β3
atau
MT = \(\frac{1}{3}\). MO = \(\frac{1}{3}\). 6β3 = 2β3
Jawaban : B
23. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas 4 cm. Jarak titik A ke TB adalah …
A. 2β2 cm
B. 2β3 cm
C. 4 cm
D. 4β2 cm
E. 4β3 cm
Pembahasan :
Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP.
Perhatikan segitiga sama sisi ABT dengan panjang sisinya 4 cm. Pada segitiga sama sisi yang panjang sisinya a, jarak dari titik sudut ke sisi di depannya adalah \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β3.
Jadi, jarak titik A ke TB adalah
AP = \(\mathrm{\frac{4}{2}}\)β3 = 2β3
Jawaban : B
24. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak 6β2 cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah …
A. 2β2 cm
B. 2β3 cm
C. 3β2 cm
D. 3β3 cm
E. 3β6 cm
Pembahasan :
Jarak titik A ke TC adalah AP.
AC = aβ2 = 6β2
Karena AC = TC = AT, maka ACT adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6β2.
Jadi, AP = \(\mathrm{\frac{6\sqrt{2}}{2}}\)β3 = 3β6
Jawaban : E
25. UN 2017
Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah …
A. 15Β°
B. 30Β°
C. 45Β°
D. 60Β°
E. 90Β°
Pembahasan :
Misalkan sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah Ξ±.
AC = 4β2
AO = \(\frac{1}{2}\). AC = 2β2
AT = 4
Perhatikan segitiga AOT siku-siku di O.
cos Ξ± = \(\mathrm{\frac{AO}{AT}}\) = \(\frac{2\sqrt{2}}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)β2
Karena cos Ξ± = \(\frac{1}{2}\)β2 maka Ξ± = 45Β°
Jawaban : C
26. UN 2017
Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF rusuk alasnya 6 cm dan tinggi limas 6β3 cm. Nilai sinus sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas adalah …
A. 1/3 β2
B. 1/2
C. 1/3 β3
D. 1/2 β2
E. 1/2 β3
Pembahasan :
Misalkan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas adalah Ξ±.
Perhatikan segitiga COT siku-siku di O.
CT = \(\mathrm{\sqrt{\left (CO \right )^{2}+\left (OT \right )^{2}}}\)
CT = \(\mathrm{\sqrt{\left (6 \right )^{2}+\left (6\sqrt{3} \right )^{2}}}\)
CT = 12
sin Ξ± = \(\mathrm{\frac{OT}{CT}}\) = \(\frac{6\sqrt{3}}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)β3
atau
tan Ξ± = \(\mathrm{\frac{OT}{CO}}\) = \(\frac{6\sqrt{3}}{6}\) = β3
Karena tan Ξ± = β3, maka Ξ± = 60Β°
Jadi, sin Ξ± = sin 60Β° = \(\frac{1}{2}\)β3
Jawaban : E
27. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuknya 12 cm dan Ξ± adalah sudut antara bidang BDG dan ABCD. Nila sin Ξ± adalah …
A. 1/6 β6
B. 1/3 β3
C. 1/2 β2
D. 1/3 β6
E. 1/2 β3
Pembahasan :
CG = a = 12
OG = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)β6 = 6β6
Perhatikan segitiga OCG siku-siku di C.
sin Ξ± = \(\mathrm{\frac{CG}{OG}}\) = \(\frac{12}{6\sqrt{6}}\) = \(\frac{1}{3}\)β6
Jawaban : D