Pembahasan soal ujian nasional matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan trigonometri yang meliputi aturan sinus dan aturan cosinus serta luas segitiga.
1. UN 2003
Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm dan √21 cm adalah…
A. \(\frac{1}{5}\)√21
B. \(\frac{1}{6}\)√21
C. \(\frac{1}{5}\)√5
D. \(\frac{1}{6}\)√5
E. \(\frac{1}{3}\)√5
Pembahasan :
Sudut terkecil pada segitiga adalah sudut yang sisi di depannya merupakan sisi terpendek. Misalkan sudut terkecil adalah θ.
Dengan aturan cosinus :
(√21)2 = 52 + 62 – 2 × 5 × 6 × cos θ
21 = 61 – 60 cos θ
60 cos θ = 40
cos θ = \(\frac{2}{3}\)
sisi samping = 2
sisi miring = 3
sisi depan = \(\sqrt{3^{2}-2^{2}}\) = √5
Jadi, sin θ = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Jawaban : E
2. UN 2005
Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah…
A. 10√37 mil
B. 30√7 mil
C. 30\(\sqrt{5+2\sqrt{2}}\) mil
D. 30\(\sqrt{5+2\sqrt{3}}\) mil
E. 30\(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\) mil
Pembahasan :
Kapal berlayar ke arah timur artinya kapal berlayar dengan arah 090°.
∠ABC = 90° + 30° = 120°
Dengan aturan cosinus :
AC2 = AB2 + BC2 – 2 × AB × BC × cos 120°
AC2 = 302 + 602 – 2 × 30 × 60 × (-1/2)
AC2 = 900 + 3600 + 1800
AC2 = 6300
AC2 = 900. 7
AC = 30√7
Jawaban : B
3. UN 2006
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah …
A. 10√95 km
B. 10√91 km
C. 10√85 km
D. 10√71 km
E. 10√61 km
Pembahasan :
∠ABU = 180° – 44° = 136°
∠ABC = 360° – (∠ABU + ∠CBU)
∠ABC = 360° – (136° + 104°)
∠ABC = 120°
Dengan aturan cosinus :
AC2 = AB2 + BC2 – 2 × AB × BC × cos 120°
AC2 = 502 + 402 – 2 × 50 × 40 × (-1/2)
AC2 = 2500 + 1600 + 2000
AC2 = 6100
AC = 10√61
Jawaban : E
4. UN 2007
Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p√2 meter, maka panjang terowongan itu adalah… meter.
A. p√5
B. p√17
C. 3√2
D. 4p
E. 5p
Pembahasan :
Dengan aturan cosinus :
AB2 = BC2 + AC2 – 2 × BC × AC × cos 45°
AB2 = p2 + (2p√2)2 – 2 × p × 2p√2 × \(\frac{1}{2}\)√2
AB2 = p2 + 8p2 – 4p2
AB2 = 5p2
AB = p√5
Jawaban : A
5. UN 2008
Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 60° dan sudut ABM = 75°. Maka AM = …
A. 150(1 + √3) cm
B. 150(√2 + √3) cm
C. 150(3 + √3) cm
D. 150(√2 + √6) cm
E. 150(√3 + √6) cm
Pembahasan :
∠AMB = 180° – (60° + 75°) = 45°
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30°. cos 45° + cos 30°. sin 45°
sin 75° = \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)√2 + \(\frac{1}{2}\)√3. \(\frac{1}{2}\)√2
sin 75° = \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
Dengan aturan sinus :
\(\mathrm{\frac{AM}{sin\,75^{\circ}}=\frac{AB}{sin\,45^{\circ}}}\)
AM. sin 45° = AB. sin 75°
AM. \(\frac{1}{2}\)√2 = 300. \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\) (kali 2)
AM. √2 = 150(√2 + √6) (kali √2)
AM. 2 = 150(2 + 2√3) (bagi 2)
AM = 150(1 + √3)
Jawaban : A
6. UN 2010
Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah…
A. 192 cm²
B. 172 cm²
C. 162 cm²
D. 148 cm²
E. 144 cm²
Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30°
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB × sin θ
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8 × sin 30°
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 8 × \(\frac{1}{2}\)
Luas △ OAB = 16
Luas segi-12 = 12 × Luas △ OAB
Luas segi-12 = 12 × 16
Luas segi-12 = 192
Jawaban : A
7. UN 2011
Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah…
A. \(\sqrt{128-64\sqrt{3}}\) cm
B. \(\sqrt{128-64\sqrt{2}}\) cm
C. \(\sqrt{128-16\sqrt{2}}\) cm
D. \(\sqrt{128+16\sqrt{2}}\) cm
E. \(\sqrt{128+16\sqrt{3}}\) cm
Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
Dengan aturan cosinus :
s2 = 82 + 82 – 2 × 8 × 8 × cos 45°
s2 = 64 + 64 – 2 × 64 × \(\frac{1}{2}\)√2
s2 = 128 – 64√2
s = \(\sqrt{128-64\sqrt{2}}\)
Jawaban : B
8. UN 2012
Keliling suatu segi-enam beraturan adalah 72 cm. Luas segi-6 tersebut adalah…
A. 432√3 cm²
B. 432 cm²
C. 216√3 cm²
D. 216√2 cm²
E. 216 cm²
Pembahasan :
Keliling segi-6 = 6s
72 = 6s
s = 12
△ OAB sama sisi dengan panjang sisi 12 cm.
Tinggi △ OAB = \(\sqrt{12^{2}-6^{2}}\) = 6√3
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × alas × tinggi
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × 12 × 6√3
Luas △ OAB = 36√3
Luas segi-6 = 6 × Luas △ OAB
Luas segi-6 = 6 × 36√3
Luas segi-6 = 216√3
Jawaban : C
9. UN 2012
Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm². keliling segi-12 beraturan tersebut adalah…
A. 96\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) cm
B. 96\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
C. 8\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) cm
D. 8\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
E. \(\sqrt{128-\sqrt{3}}\) cm
Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30°
Luas segi-12 = 12 × Luas △ OAB
192 = 12 × Luas △ OAB
Luas △ OAB = 16
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × r × r × sin θ
16 = \(\frac{1}{2}\) × r × r × sin 30°
16 = \(\frac{1}{2}\) × r2 × \(\frac{1}{2}\)
r2 = 64
r = 8
Dengan aturan cosinus :
s2 = r2 + r2 – 2 × r × r × cos 30°
s2 = 82 + 82 – 2 × 8 × 8 × \(\frac{1}{2}\)√3
s2 = 128 – 64√3
s2 = 64 (2 – √3)
s = 8\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Keliling segi-12 = 12s
Keliling segi-12 = 12 × 8\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Keliling segi-12 = 96\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Jawaban : B
10. UN 2012
Panjang jari-jari segi-8 beraturan adalah 6 cm. Keliling segi-8 tersebut adalah…
A. 6\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
B. 12\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
C. 36\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
D. 48\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
E. 72\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm
Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
Dengan aturan cosinus :
s2 = 62 + 62 – 2 × 6 × 6 × cos 45°
s2 = 62 + 62 – 2 × 6 × 6 × \(\frac{1}{2}\)√2
s2 = 72 – 36√2
s2 = 36(2 – √2)
s = 6\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
Keliling segi-8 = 8s
Keliling segi-8 = 8 × 6\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
Keliling segi-8 = 48\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
Jawaban : D
11. UN 2013
Keliling segi-12 beraturan yang jari-jari lingkaran luarnya r cm adalah …
A. 2r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
B. 6r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
C. 12r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\) cm
D. 6r\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) cm
E. 12r\(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) cm
Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30°
Perhatikan segitiga yang diarsir, dengan aturan cosinus :
s2 = r2 + r2 – 2 × r × r × cos 30°
s2 = r2 + r2 – 2 × r2 × \(\frac{1}{2}\)√3
s2 = 2r2 – r2√3
s2 = r2 (2 – √3)
s = r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Keliling segi-12 = 12s
Keliling segi-12 = 12r\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Jawaban : C
12. UN 2013
Diketahui jari-jari lingkaran luar suatu segi-8 beraturan adalah r. Luas segi-8 yang dapat dibuat adalah…
A. 1/4 r²√2
B. 1/2 r²√2
C. 3/4 r²√2
D. r²√2
E. 2 r²√2
Pembahasan :
θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × r × r × sin 45°
Luas △ OAB = \(\frac{1}{2}\) × r × r × \(\frac{1}{2}\)√2
Luas △ OAB = \(\frac{1}{4}\)r²√2
Luas segi-8 = 8 × Luas △ OAB
Luas segi-8 = 8 × \(\frac{1}{4}\)r²√2
Luas segi-8 = 2r²√2
Jawaban : E
13. UN 2014
Diketahui jajar genjang PQRS seperti gambar. Panjang diagonal PR = …
A. 5√3 cm
B. 6√3 cm
C. 7√2 cm
D. 7√3 cm
E. 8 cm
Pembahasan :
PS = QR = 6 cm
∠Q = 180° – 60° = 120°
Perhatikan △ PQR, dengan aturan cosinus :
PR2 = PQ2 + QR2 – 2 × PQ × QR × cos 120°
PR2 = 62 + 62 – 2 × 6 × 6 × (-1/2)
PR2 = 36 + 36 + 36
PR2 = 36 × 3
PR = 6√3
Jawaban : B
14. UN 2015
Perhatikan gambar. Panjang RS adalah…
A. 4√3 cm
B. 4√2 cm
C. 3√3 cm
D. 2√3 cm
E. 2√2 cm
Pembahasan :
Perhatikan △ PQR, dengan aturan cosinus :
PR2 = PQ2 + QR2 – 2 × PQ × QR × cos 120°
PR2 = 42 + 42 – 2 × 4 × 4 × (-1/2)
PR2 = 16 + 16 + 16
PR2 = 16 × 3
PR = 4√3
Perhatikan △ PRS, dengan aturan sinus :
\(\mathrm{\frac{RS}{sin\,45^{\circ}}=\frac{PR}{sin\,60^{\circ}}}\)
RS × sin 60° = PR × sin 45°
RS × √3/2 = 4√3 × √2/2
RS = 4√2
Jawaban : B
15. UN 2016
Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuahan A pada pukul 07.00 dengan arah 030° dan tiba dipelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan 150° dan tiba dipelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah …
A. 200√2 mil D. 200√7 mil
B. 200√3 mil E. 600 mil
C. 200√6 mil
Pembahasan :
Kecepatan rata-rata 50 mil/jam
Dari A ke B membutuhkan 4 jam perjalanan.
Dari B ke C membutuhkan 8 jam perjalanan.
Jarak A ke B = 50 × 4 = 200 mil
Jarak B ke C = 50 × 8 = 400 mil
∠ABU = 180° – 30° = 150°
∠ABC = 360° – (∠ABU + ∠CBU)
∠ABC = 360° – (150° + 150°)
∠ABC = 60°
Dengan aturan cosinus :
AC2 = AB2 + BC2 – 2 × AB × BC × cos 60°
AC2 = 2002 + 4002 – 2 × 200 × 400 × 1/2
AC2 = 120.000
AC2 = 40.000 × 3
AC = 200√3
Jawaban : B