Pembahasan SBMPTN 2021 Saintek 136 Matematika IPA

Pembahasan Soal SBMPTN tahun 2021 untuk Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) kode naskah 136 mata uji Matematika IPA.

Materi uji meliputi : Sistem persamaan linier, Bunga majemuk, Pertidaksamaan rasional, Vektor, Persamaan trigonometri, Persamaan parabola dan asimtotnya, Suku banyak, Geometri datar (lingkaran), Integral tentu, Limit fungsi trigonometri, Limit trigonometri di tak hingga, Fungsi rasional dan asimtotnya, Turunan fungsi trigonometri, Persamaan garis singgung kurva, Peluang.

 1.  SBMPTN 2021  Sistem Persamaan Linier
Jika x, y adalah solusi sistem \(\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}+1}+\frac{3\mathrm{y}}{\mathrm{x}+1}=2\\ -\frac{3\mathrm{x}}{\mathrm{y}+1}+\frac{6\mathrm{y}}{\mathrm{x}+1}=-1

\end{matrix}\right.\)
maka x + 2y = …
(A)   \(\frac{5}{3}\)
(B)   \(\frac{7}{3}\)
(C)   3
(D)   4
(E)   5

Pembahasan :
Jika dimisalkan \(\mathrm{\frac{x}{y+1}}\) = p  dan \(\mathrm{\frac{y}{x+1}}\) = q, maka sistem diatas dapat ditulis menjadi
p + 3q = 2   ……………..(1)
-3p + 6q = -1   …………(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh p = 1 dan q = \(\frac{1}{3}\). Sehingga
\(\mathrm{\frac{x}{y+1}}\) = 1      ⇔   x – y = 1   …………(3)
\(\mathrm{\frac{y}{x+1}}\) = \(\frac{1}{3}\)    ⇔   x – 3y = -1   ………(4)

Eliminasi (3) dan (4) diperoleh x = 2 dan y = 1.
Jadi, x + 2y = 2 + 2(1) = 4

Jawaban : D

 2.  SBMPTN 2021  Bunga Majemuk
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga pertahun adalah …
(A)   2\(\left ( \sqrt[10]{2}\,-\,1 \right )\)
(B)   2\(\left ( \sqrt[5]{2}\,-\,1 \right )\)
(C)   2\(\left ( \sqrt{2} \right )\)
(D)   2\(\left ( \sqrt[5]{2} \right )\)
(E)   2\(\left ( \sqrt[10]{2} \right )\)

Pembahasan :
Jika kita perhatikan opsi jawaban (memuat bentuk akar), maka bunga yang dimaksud pada soal adalah bunga majemuk, sehingga berlaku :
M_n = M_o(1 + i)ⁿ
dengan
M_n = jumlah tabungan setelah n periode
M_o = jumlah tabungan awal
i = tingkat suku bunga

Jumlah tabungan dalam 5 tahun (10 semester) adalah
M₁₀ = M_o(1 + i)¹⁰
(n = 10, karena keuntungan dihitung per semester)

Diketahui jumlah tabungan dalam 5 tahun (10 smster) menjadi 2 kali lipat, dapat ditulis
M₁₀ = 2M_o

Sehingga diperoleh persamaan
M_o(1 + i)¹⁰ = 2M_o
⇔  (1 + i)¹⁰ = 2
⇔  1 + i = \(\sqrt[10]{2}\)
⇔  i = \(\sqrt[10]{2}\) – 1

Jadi, besar suku bunga /semester adalah i = \(\sqrt[10]{2}\) – 1 dan besar suku bunga /thn adalah 2i = 2\(\left ( \sqrt[10]{2}\,-\,1 \right )\).

Jawaban : A

 3.  SBMPTN 2021  Pertidaksamaan Rasional
Banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan \(\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)}\leq 1}\) adalah …
(A)   2
(B)   3
(C)   4
(D)   5
(E)   6

Pembahasan :
⇔  \(\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)}-1\leq 0}\)

⇔  \(\mathrm{\frac{(x+1)(x-2)\,-\,(x+3)(x-4)}{(x+3)(x-4)}\leq 0}\)

⇔  \(\mathrm{\frac{10}{(x+3)(x-4)}\leq 0}\)

Nilai x yang memenuhi adalah -3 < x < 4.
Jadi, banyak bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan diatas ada 6, yaitu {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Jawaban : E

 4.  SBMPTN 2021  Vektor
Diketahui vektor a, u, v, w adalah vektor di bidang kartesius dengan v = w – u dan sudut antara u dan w adalah 60°. Jika a = 4v dan a.u = 0 maka …
(A)   ||u|| = 2||v||
(B)   ||v|| = 2||w||
(C)   ||v|| = 2||u||
(D)   ||w|| = 2||v||
(E)   ||w|| = 2||u||

Pembahasan :
Karena v = w – u dan sudut antara vektor u dan w adalah 60°, maka berlaku :
|v|² =  |w|² + |u|² – 2|w| |u| cos 60°
|v|² =  |w|² + |u|² – 2|w| |u| \(\frac{1}{2}\)
|v|² =  |w|² + |u|² – |w| |u|
|w| |u| = |w|² + |u|² – |v|²   ………………………..(1)

Diketahui a = 4v dan a.u = 0, akibatnya
(4v).u = 0   ⇔   u.v = 0

Karena v = w – u maka w = u + v sehingga berlaku :
|w|² =  |u|² + |v|² + 2u.v
|w|² =  |u|² + |v|² + 2(0)
|w|² =  |u|² + |v|²   ………………………………….(2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
|w| |u| = (|u|² + |v|²) + |u|² – |v|²
|u| |w| = 2|u|²
|w| = 2|u|

Jawaban : E

 5.  SBMPTN 2021  Persamaan Trigonometri
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot x₁) . (cot x₂) = …
(A)   -2
(B)   -1
(C)   1
(D)   2
(E)   3

Pembahasan :
cot 2x = \(\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}\)

2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1
2 \(\left (\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}  \right )\)cot x + cot x – 1 = 0
cot²x – 1 + cot x – 1 = 0
cot²x + cot x – 2 = 0
(cot x + 2)(cot x – 1) = 0
cot x = -2  atau  cot x = 1

Karena pada soal tidak diberikan syarat untuk x, akibatnya persamaan trigonometri diatas memiliki tak hingga banyaknya solusi. Meskipun demikian, nilai (cot x₁) . (cot x₂) hanya ada tiga kemungkinan.

Jika x₁ dan x₂ dipilih dari persamaan cot x = -2, maka :
(cot x₁) . (cot x₂) = (-2)(-2) = 4
Jika x₁ dan x₂ dipilih dari persamaan cot x = 1, maka :
(cot x₁) . (cot x₂) = (1)(1) = 1
Jika x₁ dipilih dari persamaan cot x = -2 dan x₂ dipilih dari persamaan cot x = 1 ataupun sebaliknya, maka :
(cot x₁) . (cot x₂) = (-2)(1) = -2

Jadi, nilai (cot x₁) . (cot x₂) yang mungkin adalah 4, 1 atau -2. Dari opsi jawaban, yang memenuhi adalah A dan C. Secara pribadi, saya memilih opsi A dengan asumsi cot x₁ ≠ cot x₂.

Jawaban : A

 6.  SBMPTN 2021  Hiperbola dan Asimtotnya
Jika y = \(\frac{2}{3}\)x – 5 adalah asimtot hiperbola \(\mathrm{\frac{x^{2}\,-\,2nx\,+\,n^{2}}{9}-\frac{y^{2}\,+\,2y\,+\,1}{4}=1}\), maka salah satu nilai n yang mungkin adalah …
(A)   8
(B)   7
(C)   6
(D)   5
(E)   4

Pembahasan :
Asimtot hiperbola \(\mathrm{\frac{(x\,-\,p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y\,-\,q)^{2}}{b^{2}}=1}\) adalah
y – q = \(\mathrm{\frac{b}{a}}\)(x – p)  atau  y – q = -\(\mathrm{\frac{b}{a}}\)(x – p).

\(\mathrm{\frac{x^{2}\,-\,2nx\,+\,n^{2}}{9}-\frac{y^{2}\,+\,2y\,+\,1}{4}=1}\)
\(\mathrm{\frac{(x\,-\,n)^{2}}{3^{2}}-\frac{(y\,+\,1)^{2}}{2^{2}}=1}\)

Persamaan asimtotnya adalah
y + 1 = \(\frac{2}{3}\)(x – n)   atau   y + 1 = -\(\frac{2}{3}\)(x – n)

Diketahui persamaan asimtotnya y = \(\frac{2}{3}\)x – 5 dengan koefisien x bernilai positif. Jadi, pilih yang bertanda (+), yaitu :
y + 1 = \(\frac{2}{3}\)(x – n)   ⇔   y = \(\frac{2}{3}\)x – \(\frac{2}{3}\)n – 1

Diperoleh persamaan :
-\(\frac{2}{3}\)n – 1 = -5
⇔  -\(\frac{2}{3}\)n = -4
⇔  n = 6

Jawaban : C

 7.  SBMPTN 2021  Suku Banyak
Jika sisa pembagian p(x) oleh x – 1 adalah 1, maka sisa pembagian p(x) oleh (x – 1)(x – 3) adalah …
(A)   -\(\frac{1}{2}\)[p(3) – 1](x – 1) + 1
(B)   \(\frac{1}{2}\)[p(3) – 1](x – 1) + 1
(C)   -\(\frac{1}{2}\)[p(3) + 1](x – 1) + 1
(D)   [p(3) + 1](x – 1) + 1
(E)   -[p(3) + 1](x – 1) + 1

Pembahasan :
p(x) = pembagi × hasil bagi + sisa

Diketahui p(x) dibagi (x – 1) bersisa 1. Dapat kita tulis :
p(x) = (x – 1) q(x) + 1   ………………………..(1)
(untuk suatu suku banyak q(x) )

Untuk x = 3, maka
p(3) = (3 – 1) q(3) + 1
p(3) = 2q(3) + 1
q(3) = \(\frac{1}{2}\)[p(3) – 1]   ……………………….(2)

Berdasarkan teorema sisa, jika q(x) dibagi (x – 3) maka sisanya adalah q(3). Dapat ditulis
q(x) = (x – 3) r(x) + q(3)   …………………….(3)
(untuk suatu suku banyak r(x) )

Substitusi persamaan (2) ke (3) diperoleh :
q(x) = (x – 3) r(x) + \(\frac{1}{2}\)[p(3) – 1]   ………….(4)

Substitusi persamaan (4) ke pers (1) diperoleh :
p(x) = (x – 1) {(x – 3) r(x) + \(\frac{1}{2}\)[p(3) – 1]} + 1
p(x) = (x – 1)(x – 3) r(x) + \(\frac{1}{2}\)[p(3) – 1](x – 1) + 1

Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x – 1)(x – 3) adalah
\(\frac{1}{2}\)[p(3) – 1](x – 1) + 1

Jawaban : B

 8.  SBMPTN 2021  Geometri Datar

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius 3√2 melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah …
(A)   18π + 18
(B)   18π – 18
(C)   14π + 14
(D)   14π – 15
(E)   10π + 10

Pembahasan :

Perhatikan gambar (a), luas daerah irisan kedua lingkaran adalah : L_I + L_II

Perhatikan gambar (b), karena ruas garis AB merupakan diameter lingkaran kecil dan O terletak pada lingkaran kecil, maka ∠ AOB = 90°.
L_I = Luas juring AOB – Luas segitiga AOB
L_I = \(\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × π.6² –  \(\frac{1}{2}\) × 6.6
L_I = 9π – 18

Perhatikan gambar (c), karena AB adalah diameter lingkaran kecil maka
L_II = \(\frac{1}{2}\) × luas lingkaran kecil
L_II = \(\frac{1}{2}\) × π(3√2)²
L_II = 9π

Jadi, luas irisan adalah (9π – 18) + (9π) = 18π – 18

Jawaban : (B)

 9.  SBMPTN 2021  Integral Tentu
Jika  \(\int_{-4}^{4}\mathrm{f(x)(sin\,x+1)\,dx=8}\), dengan f(x) fungsi genap dan  \(\int_{-2}^{4}\mathrm{f(x)\,dx=4}\), maka  \(\int_{-2}^{0}\mathrm{f(x)\,dx=…}\)
(A)   0
(B)   1
(C)   2
(D)   3
(E)   4

Pembahasan :
(i)  Jika f(x) fungsi ganjil maka
     \(\int_{-a}^{a}\) f(x) dx  =  0
(ii)  Jika f(x) fungsi genap maka
     \(\int_{-a}^{a}\) f(x) dx  =  2\(\int_{0}^{a}\) f(x) dx
(iii)  Jika a < b < c maka berlaku
     \(\int_{a}^{c}\) f(x) dx  =  \(\int_{a}^{b}\) f(x) dx  +  \(\int_{b}^{c}\) f(x) dx

Diketahui f(x) fungsi genap dan sin x adalah fungsi ganjil. Akibatnya, f(x).sin x adalah fungsi ganjil.

\(\int_{-4}^{4}\) f(x) (sin x + 1) dx = 8
\(\int_{-4}^{4}\) [f(x).sin x + f(x)] dx = 8
\(\int_{-4}^{4}\) f(x).sin x dx  +  \(\int_{-4}^{4}\) f(x) dx  =  8

Berdasarkan sifat (i) dan (ii), persamaan diatas menjadi
0  +  2\(\int_{0}^{4}\) f(x) dx  =  8
⇒ \(\int_{0}^{4}\) f(x) dx  =  4 

Diketahui  \(\int_{-2}^{4}\) f(x) dx = 4. Berdasarkan sifat (iii), persamaan tersebut dapat ditulis menjadi
\(\int_{-2}^{0}\) f(x) dx  +  \(\int_{0}^{4}\) f(x) dx  =  4
\(\int_{-2}^{0}\) f(x) dx  +  4  =  4
\(\int_{-2}^{0}\) f(x) dx  =  0

Jawaban : A

 10.  SBMPTN 2021  Limit Trigonometri
\(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\;x\cdot \left ( 1-sin\left ( x-\frac{\pi }{2} \right ) \right )\cdot cot(2x-\pi )=…}\)
(A)   \(\frac{1}{2}\)
(B)   1
(C)   \(\frac{3}{2}\)
(D)   2
(E)   \(\frac{5}{2}\)

Pembahasan :
Berdasarkan sifat sudut negatif dan sudut relasi :
sin (x – \(\frac{\pi }{2}\)) = – sin (\(\frac{\pi }{2}\) – x)
sin (x – \(\frac{\pi }{2}\)) = – cos x

cot (2x – π) = – cot (π – 2x)
cot (2x – π) = – (-cot 2x)
cot (2x – π) = cot 2x

Jadi, limit pada soal dapat kita tulis menjadi
\(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}}\) x . (1 – (-cos x)) . cot 2x
\(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}}\) x . (1 + cos x) . \(\mathrm{\frac{cos\,2x}{sin\,2x}}\)
\(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\;\frac{x}{sin\,2x}  \;\cdot\;  _{x \to 0 }^{lim}}\) (1 + cos x) . cos 2x

\(\frac{1}{2}\) . (1 + cos 0) . cos 2(0)
\(\frac{1}{2}\) . (1 + 1) . 1  =  1

Jawaban : B

 11.  SBMPTN 2021  Limit Trigonometri di Tak Hingga
\(\mathrm{_{x \to \infty   }^{lim}\,\frac{x\,cot\left ( \frac{5}{x\,+\,1} \right )}{1\,-\,x^{2}}=…}\)
(A)   -1
(B)   -\(\frac{1}{2}\)
(C)   -\(\frac{1}{3}\)
(D)   -\(\frac{1}{4}\)
(E)   -\(\frac{1}{5}\)

Pembahasan :
Limit pada soal dapat ditulis menjadi
\(\mathrm{_{x \to \infty   }^{lim}\,\frac{x\,cot\left ( \frac{5}{x\,+\,1} \right )}{1\,-\,x}\cdot \frac{1}{1\,+\,x}}\)

Misalkan  y = \(\mathrm{\frac{1}{x\,+\,1}}\),  maka  x = \(\mathrm{\frac{1}{y}}\) – 1
Jika x → ∞  maka  y → 0

Sehingga limit diatas menjadi
\(\mathrm{_{y \to 0   }^{lim}\,\frac{(\frac{1}{y}-1)\,cot\,5y}{1\,-\,(\frac{1}{y}-1)}\cdot y}\)

\(\mathrm{_{y \to 0   }^{lim}\,\frac{(1\,-\,y)\,cot\,5y}{2\,-\,\frac{1}{y}}\cdot \frac{{\color{Red} y}}{{\color{Red} y}}}\)

\(\mathrm{_{y \to 0   }^{lim}\,\frac{y(1\,-\,y)\,cot\,5y}{2y\,-\,1}}\)

\(\mathrm{_{y \to 0   }^{lim}\,\frac{y}{sin\,5y}\cdot \frac{(1\,-\,y)\,cos\,5y}{2y\,-\,1}}\)

\(\frac{1}{5}\) . \(\mathrm{\frac{(1\,-\,0)\,cos\,5(0)}{2(0)\,-\,1}}\)  =  -\(\frac{1}{5}\)

Jawaban : E

 12.  SBMPTN 2021  Fungsi Rasional dan Asimtotnya
Grafik fungsi f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x^{2}\,-\,1)}{(x^{2}\,+\,x\,-\,2)(x^{2}\,+\,3x\,+\,2)}}\), k bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika k = …
(A)   1
(B)   2
(C)   3
(D)   4
(E)   5

Pembahasan :
Banyaknya asimtot tegak fungsi rasional dapat dihitung dari banyaknya pembuat nol pada bagian penyebut, dan pembuat nol ini berbeda dengan pembuat nol pada pembilang. Untuk itu, kita dapat mulai dengan mengeliminasi pembuat nol yang sama pada pembilang dan penyebut, atau dengan kata lain mencoret faktor linier yang sama pada pembilang dan penyebut.

f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x^{2}\,-\,1)}{(x^{2}\,+\,x\,-\,2)(x^{2}\,+\,3x\,+\,2)}}\)

f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}(x\,{\color{red} \not}+\,1)(x\,{\color{red} \not}-\,1)}{(x\,+\,2)(x\,{\color{red} \not}-\,1)(x\,+\,2)(x\,{\color{red} \not}+\,1)}}\)

f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,+\,2)^{k}}{(x\,+\,2)(x\,+\,2)}}\)

Dari fungsi terakhir yang diperoleh, mudah bagi kita untuk menebak berapa nilai k agar penyebutnya hanya memiliki satu pembuat nol, yaitu ketika k = 1.
f(x) = \(\mathrm{\frac{(x\,{\color{red} \not}+\,2)^{1}}{(x\,{\color{red} \not}+\,2)(x\,+\,2)}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{x\,+\,2}}\)

Jadi, agar f(x) mempunyai satu asimtot tegak haruslah k = 1, dengan asimtot tegaknya adalah x = -2.

Jawaban : A

 13.  SBMPTN 2021  Turunan Fungsi Trigonometri
Misalkan f(x) = sin (cos²x), maka f'(x) = …
(A)   -2 sin x . cos (cos²x)
(B)   -2 sin 2x . cos (cos²x)
(C)   – sin x . cos (cos²x)
(D)   – sin 2x . cos (cos²x)
(E)   – sin²x . cos (cos²x)

Pembahasan :
Diketahui f(x) = sin (cos²x)
Misalkan  g(x) = cos²x  sehingga f(x) = sin g(x)

Turunan dari g(x) = cos²x adalah
g'(x) = 2 cos x . (-sin x) = – sin 2x

Turunan dari f(x) = sin g(x) adalah
f'(x) = g'(x) . cos g(x)
f'(x) = – sin 2x . cos (cos²x)

 14.  SBMPTN 2021  Garis Singgung Kurva
Garis singgung kurva y = \(\mathrm{\frac{x}{2\,-\,2x}}\) yang melalui titik \((1,\,-1)\) adalah …
(A)   x – 8y – 9 = 0
(B)   x + 4y + 3 = 0
(C)   2x – 8y – 10 = 0
(D)   x + 8y + 7 = 0
(E)   x – 4y – 5 = 0

Pembahasan :

 15.  SBMPTN 2021  Peluang
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah …
(A)   0,04
(B)   0,10
(C)   0,16
(D)   0,32
(E)   0,40

Pembahasan :
Kotak I : 12P 3M
Kotak II : 4P 4M

Dari masing-masing kotak diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Peluang yang terambil 1 bola merah :

Kotak I terambil MP dan kotak II terambil PP :
\(\left (\frac{3}{15} \cdot \frac{12}{15}  \right ) \times  \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8}  \right )=\frac{1}{25}\)
Kotak I terambil PM dan kotak II terambil PP :
\(\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{3}{15}  \right ) \times  \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8}  \right )=\frac{1}{25}\)
Kotak I terambil PP dan kotak II terambil MP :
\(\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15}  \right ) \times  \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8}  \right )=\frac{4}{25}\)
Kotak I terambil PP dan kotak II terambil PM :
\(\left (\frac{12}{15} \cdot \frac{12}{15}  \right ) \times  \left (\frac{4}{8} \cdot \frac{4}{8}  \right )=\frac{4}{25}\)
Jadi, peluang yang terambil 1 bola merah adalah
\(\frac{1}{25}\) + \(\frac{1}{25}\) + \(\frac{4}{25}\) + \(\frac{4}{25}\)= \(\frac{10}{25}\) = 0,40

Jawaban : E