Pembahasan SBMPTN 2021 Persamaan Trigonometri

Secara umum, penyelesaian soal-soal SBMPTN 2021 untuk materi persamaan trigonometri dilakukan dengan cara mengubah persamaan trigonometri yang diberikan ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan variabelnya merupakan fungsi trigonometri tertentu. Oleh karenanya, penguasaan materi identitas trigonometri dan persamaan kuadrat akan sangat dibutuhkan.

 1.  SBMPTN 2021  Saintek 120
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari \(\mathrm{sec\,x-2-15\,cos\,x=0}\) dengan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ \(\frac{\pi}{2}\), maka \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}=\,…}\)
(A)   -20
(B)   -15
(C)   -10
(D)   -5
(E)   0

Pembahasan :
sec x – 2 – 15cos x = 0
\(\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}\) – 2 – 15cos x = 0    (× cos x)
1 – 2cos x – 15cos²x = 0 
15cos²x + 2cos x – 1 = 0

Berdasarkan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, maka :
cos x₁ . cos x₂ = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{-1}{15}\)

Jadi, \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}}\) = \(\frac{1}{\left ( -\frac{1}{15} \right )}\) = -15

Jawaban : B

 2.  SBMPTN 2021  Saintek 124
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}-5\,tan\,x+5=0}\), maka tan (x₁ + x₂) = …
(A)   \(-\frac{5}{7}\)
(B)   \(-\frac{5}{3}\)
(C)   \(\frac{\sqrt{5}}{7}\)
(D)   \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
(E)   \(\frac{5}{3}\)

Pembahasan :
tan (A + B) = \(\mathrm{\frac{tan\,A\,+\,tan\,B}{1\,-\,tan\,A\,\cdot\,tan\,B}}\)
cot 2x = \(\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}\)

\(\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}}\) – 5tan x + 5 = 0
2tan x . cot 2x – 5tan x + 5 = 0
2tan x . \(\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}\) – 5tan x + 5 = 0
1 – tan²x – 5tan x + 5 = 0
tan²x + 5tan x – 6 = 0
(tan x + 6)(tan x – 1) = 0
tan x = -6  atau  tan x = 1

Untuk tan x₁ = -6  dan  tan x₂ = 1, maka :
tan (x₁ + x₂) = \(\mathrm{\frac{tan\,x_{1}\,+\,tan\,x_{2}}{1\,-\,tan\,x_{1}\cdot tan\,x_{2}}}\) = \(\frac{-6\,+\,1}{1\,-\,(-6)(1)}\) = \(-\frac{5}{7}\)

 3.  SBMPTN 2021  Saintek 133
Banyaknya solusi yang memenuhi
-2tan x . sec x – 2tan x + 5sin x = 0 dengan 0 < x < π adalah …
(A)   0
(B)   1
(C)   2
(D)   3
(E)   4

Pembahasan :
-2tan x . sec x – 2tan x + 5sin x = 0
-2tan x (sec x + 1) + 5sin x = 0
5sin x = 2tanx (sec x + 1)
5sin x = \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\)(sec x + 1)
5 = \(\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}\)(sec x + 1)
5cos x = 2(sec x + 1) 
5cos x = \(\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}\) + 2   (× cos x)
5cos²x = 2 + 2cos x
5cos²x – 2cos x – 2 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh
cos x = \(\mathrm{\frac{2+\sqrt{44}}{10}}\)  atau  cos x = \(\mathrm{\frac{2-\sqrt{44}}{10}}\)
Selanjutnya, akan diperiksa apakah kedua persamaan diatas mempunyai solusi pada interval 0 < x < π. Jika keduanya mempunyai solusi, artinya persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi.

Untuk interval 0 < x < π, maka -1 < cos x < 1, dapat ditulis |cos x| < 1. Artinya, kedua persamaan diatas akan mempunyai solusi jika memenuhi |cos x| < 1.
\(\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,+\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,+\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{9}{10} \right |<1\)

\(\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,-\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,-\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{-5}{10} \right |<1\)

Karena keduanya memenuhi, kita simpulkan bahwa persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi.

Jawaban : C

 4.  SBMPTN 2021  Saintek 134
Jika \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}-5=0}\), dengan 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\) maka \(\mathrm{cos^{2}x-sin^{2}x=…}\)
(A)   \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)
(B)   \(\frac{2}{\sqrt{26}}\)
(C)   \(\frac{3}{\sqrt{26}}\)
(D)   \(\frac{4}{\sqrt{26}}\)
(E)   \(\frac{5}{\sqrt{26}}\)

Pembahasan :
Karena tan 2x = \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}\), akibatnya
\(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}\) – 5 = 0   ⇔   tan 2x = 5

Berdasarkan gambar diatas :
tan 2x = 5   →   cos 2x = \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)
Karena cos 2x = cos²x – sin²x, maka
cos 2x = cos²x – sin²x = \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)

Jawaban : A

 5.  SBMPTN 2021  Saintek 135
Jika x₁ dan x₂ memenuhi persamaan \(\mathrm{2\,sin\,x+sec\,x-2\,tan\,x-1=0}\), maka nilai \(\mathrm{sin\,x_{1}+cos\,x_{2}}\) yang mungkin adalah …
(A)   \(\frac{4}{5}\)
(B)   \(\frac{3}{4}\)
(C)   \(\frac{4}{3}\)
(D)   \(\frac{3}{2}\)
(E)   2

Pembahasan :
2sin x + sec x – 2tan x – 1 = 0
2sin x + \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}\) – \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\) – 1 = 0   (× cos x)
2sin x . cos x + 1 – 2sin x – cos x = 0
2sin x . cos x – 2sin x – cos x + 1 = 0
2sin x(cos x – 1) – (cos x – 1) = 0
(2sin x – 1)(cos x – 1) = 0
sin x = 1/2  atau  cos x = 1

Untuk sin x₁ = 1/2 dan cos x₂ = 1, maka
sin x₁ + cos x₂ = 1/2 + 1 = 3/2

Jawaban : D

 6.  SBMPTN 2021  Saintek 136
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot x₁) . (cot x₂) = …
(A)   -2
(B)   -1
(C)   1
(D)   2
(E)   3

Pembahasan :
cot 2x = \(\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}\)

2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1
2 \(\left (\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}  \right )\)cot x + cot x – 1 = 0
cot²x – 1 + cot x – 1 = 0
cot²x + cot x – 2 = 0
(cot x + 2)(cot x – 1) = 0
cot x = -2  atau  cot x = 1

Untuk cot x₁ = -2 dan cot x₂ = 1, maka
(cot x₁) . (cot x₂) = (-2)(1) = -2

Jawaban : A

 7.  SBMPTN 2021  Saintek 140
Jika 2sin x + 3cot x – 3csc x = 0, dengan 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka sin x . cos x = …
(A)   √3
(B)   \(\frac{1}{2}\)√3
(C)   \(\frac{1}{3}\)√3
(D)   \(\frac{1}{4}\)√3
(E)   \(\frac{1}{5}\)√3

Pembahasan :
2sin x  +  3cot x  –  3csc x  =  0
2sin x  +  \(\mathrm{\frac{3\,cos\,x}{sin\,x}}\)  –  \(\mathrm{\frac{3}{sin\,x}}\)  =  0   (× sin x)
2sin²x  +  3cos x  –  3  =  0
2(1 – cos²x)  +  3cos x  –  3  =  0
2  –  2cos²x  +  3cos x  –  3  =  0
2cos²x  –  3cos x  +  1  =  0
(2cos x  –  1)(cos x  –  1) = 0
cos x = 1/2  atau  cos x = 1

Untuk 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka cos x = 1 tidak mempunyai solusi.
cos x = 1/2   →   sin x = \(\frac{1}{2}\)√3

Jadi, sin x . cos x = \(\frac{1}{2}\)√3 . \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\)√3

Jawaban : D

 8.  SBMPTN 2021  Saintek 145
Diketahui persamaan \(\mathrm{sec\,\theta \left ( sec\,\theta (sin\,\theta )^{2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\,sin\,\theta  \right )=1}\). Jika θ₁ dan θ₂ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka nilai  tan θ₁ . tan θ₂ = …
(A)   -1
(B)   -0,5
(C)   0
(D)   0,5
(E)   1

Pembahasan :
sec θ (sec θ (sin θ)²  +  \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ)  =  1 
(sec θ (sin θ)²  +  \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ)  =  \(\mathrm{\frac{1}{sec\,\theta}}\) 
\(\mathrm{\frac{1}{cos\,\theta}}\) . sin²θ  +  \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ  =  cos θ    (× cos θ)
sin²θ  +  \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ . cos θ  =  cos²θ
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\). 2sinθ . cos θ  =  cos²θ  –  sin²θ
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) . sin 2θ  =  cos 2θ
\(\mathrm{\frac{sin\,2\theta }{cos\,2\theta }}\)  =  \(\frac{3}{\sqrt{3}}\)
tan 2θ  =  √3

Berdasarkan rumus sudut rangkap, persamaan diatas dapat ditulis menjadi
\(\mathrm{\frac{2\,tan\,\theta }{1\,-\,tan^{2}\theta }}\) = √3
2tan θ = √3 – √3 tan²θ
√3 tan²θ + 2tan θ – √3 = 0
(√3 tan θ – 1)(tan θ + √3) = 0
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)  atau  tan θ = -√3

Untuk tan θ₁ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) dan tan θ₂ = -√3, maka :
tan θ₁ . tan θ₂ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) . (-√3) = -1

Jawaban : A

 9.  SBMPTN 2021  Saintek 146
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari \(\mathrm{csc^{2}x+3\,csc\,x-10=0}\), dengan \(-\frac{\pi}{2}\) < x < \(\frac{\pi}{2}\), x ≠ 0, maka \(\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}=…}\)
(A)   -1
(B)   -2
(C)   -3
(D)   -4
(E)   -5

Pembahasan :
csc²x  +  3csc x  –  10  =  0
(csc x  +  5)(csc x  –  2) = 0
csc x = -5  atau  csc x = 2

csc x = -5   ⇔   sin x = -\(\frac{1}{5}\)
csc x = 2   ⇔   sin x = \(\frac{1}{2}\)

Untuk sin x₁ = -\(\frac{1}{5}\) dan sin x₂ = \(\frac{1}{2}\), maka
\(\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}}\) = \(\frac{-\frac{1}{5}\,+\,\frac{1}{2}}{-\frac{1}{5}\,\cdot \,\frac{1}{2}}\) = \(\frac{\frac{3}{10}}{-\frac{1}{10}}\) = -3

Jawaban : C

 10.  SBMPTN 2021  Saintek 148
Jika cot x ≠ 1, dan cot²x – 6cot x = 1, maka nilai \(\mathrm{\left | sin\,x_{1}\cdot sin\,x_{2} \right |}\) adalah …
(A)   \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
(B)   \(\frac{1}{2\sqrt{10}}\)
(C)   \(\frac{1}{3\sqrt{10}}\)
(D)   \(\frac{1}{4\sqrt{10}}\)
(E)   \(\frac{1}{5\sqrt{10}}\)

Pembahasan :
Dengan menggunakan rumus kuadrat pada persamaan cot²x – 6cot x – 1 = 0 akan diperoleh :
cot x = 3 + √10  atau  cot x = 3 – √10

Berdasarkan gambar diatas :
cot x = 3 + √10   →   |sin x| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\)
cot x = 3 – √10    →   |sin x| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\)

Untuk |sin x₁| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\) dan |sin x₂| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\) maka
|sin x₁ . sin x₂| = |sin x₁| . |sin x₂ |

 11.  SBMPTN 2021  Saintek 155
Jika x₁ dan x₂ adalah solusi dari \(\mathrm{2\,cot\,x-2\,tan\,x-4\,sin\,x\cdot cos\,x=0}\) untuk 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka sin²x₁ + sin²x₂ = …
(A)   \(\frac{1}{2}\)
(B)   1
(C)   \(\frac{3}{2}\)
(D)   2
(E)   \(\frac{5}{2}\)

Pembahasan :
2cot x  –  2tan x  –  4sin x . cos x = 0
\(\mathrm{\frac{2\,cos\,x}{sin\,x}}\) – \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\) = 4sin x . cos x
\(\mathrm{\frac{2cos^{2}x\,-\,2sin^{2}x}{sin\,x\cdot cos\,x}}\) = 4sin x . cos x
2cos²x – 2sin²x = 4(sin x . cos x)²
2(cos²x – sin²x) = (2sin x . cos x)²
2cos 2x = (sin 2x)²
2cos 2x = 1 – (cos 2x)²
(cos 2x)² + 2cos 2x – 1 = 0

Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat, maka :
cos 2x₁ + cos 2x₂ = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-2}{1}\) = -2

cos 2x₁ + cos 2x₂ = -2
(1 – 2sin²x₁) + (1 – 2sin²x₂)  = -2
2 – 2sin²x₁ – 2sin²x₂ = -2
4 = 2sin²x₁ + 2sin²x₂
2 = sin²x₁ + sin²x₂

Jawaban 😀