Menyusun Persamaan Kuadrat Dalam Ilmu Matematika

Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah p dan q, maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara :

1.  Mengalikan faktor

(x – p)(x – q) = 0

2.  Menyusun jumlah dan hasil kali

x² − (p + q)x + pq = 0

Sebagai contoh, jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah −1 dan 3, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

Mengalikan faktor
(x + 1)(x − 3) = 0
x² − 2x − 3 = 0

Menyusun jumlah dan hasil kali
x² − (−1 + 3)x + (−1) 3 = 0
x² − 2x − 3 = 0

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah α dan β, maka persamaan kuadrat baru yang jumlah dan hasil kali akar-akarnya dapat dinyatakan dalam α + β dan/atau αβ dapat disusun dengan cara :

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal.
2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru. 
3. Susun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka  $$\mathrm{x^{2}-(p+q)x+pq=0}$$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 1
Jika akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{x^{2}+2x-3=0}\) adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\alpha +2\) dan \(\beta  +2\)

Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
α + β = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\) = \(\mathrm{-\frac{2}{1}}\) = −2
αβ = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\) = \(\frac{-3}{1}\) = −3

Misalkan p = α + 2  dan  q = β + 2

Jumlah dan hasil akar-akar PK baru :
p + q = (α + 2) + (β + 2)
p + q = α + β + 4
p + q = −2 + 4
p + q = 2

pq = (α + 2) (β + 2)
pq = αβ + 2(α + β) + 4
pq = −3 + 2(−2) + 4
pq = −3

Susun persamaan kuadrat baru :
x² − (p + q)x + pq = 0
x² − 2x − 3 = 0

Contoh 2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{x^{2}+5x+2=0}\) adalah…

Jawab :
Jika dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat awal adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal adalah :
α + β = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\) = \(\mathrm{-\frac{5}{1}}\) = −5
αβ = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{1}}\) = 2

Misalkan p = 3α  dan  q = 3β

Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = 3α + 3β
p + q = 3(α + β)
p + q = 3(−5)
p + q = −15

pq = 3α . 3β
pq = 9 αβ
pq = 9 (2)
pq = 18

Susun persamaan kuadrat baru :
x² − (p + q)x + pq = 0
x² − (−15)x + 18 = 0
x² + 15x + 18 = 0

Contoh 3
Jika akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{x^{2}-3x+2=0}\) adalah x₁ dan x₂, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(\mathrm{\frac{1}{x_{1}}}\) dan \(\mathrm{\frac{1}{x_{2}}}\) adalah …

Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
x₁ + x₂ = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\) = \(\mathrm{-\frac{(-3)}{1}}\) = 3
x₁ x₂ = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{1}}\) = 2

Misalkan p = \(\mathrm{\frac{1}{x_{1}}}\)  dan  q = \(\mathrm{\frac{1}{x_{2}}}\)

Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = \(\mathrm{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}}\)
p + q = \(\mathrm{\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}}\)
p + q = \(\mathrm{\frac{3}{2}}\)

pq = \(\mathrm{\frac{1}{x_{1}} \cdot \frac{1}{x_{2}}}\)
pq = \(\mathrm{\frac{1}{x_{1} x_{2}}}\)
pq = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)

Susun persamaan kuadrat baru :
x² − (p + q)x + pq = 0
x² − \(\mathrm{\frac{3}{2}}\)x + \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) = 0    ×2
2x² − 3x + 1 = 0

Contoh 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a.  α + n dan β + n
b.  α − n dan β − n
c.  nα dan nβ
d.  \(\mathrm{\frac{1}{\alpha}}\) dan \(\mathrm{\frac{1}{\beta}}\)

Jawab :
(a).  α + n dan β + n

α + β = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\)
αβ =  \(\mathrm{\frac{c}{a}}\)

Misalkan p = α + n  dan  q = β + n, akibatnya
p + q = (α + n) + (β + n)
p + q = α + β + 2n
p + q = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\) + 2n
p + q = \(\mathrm{\frac{-b+2an}{a}}\)

pq = (α + n) (β + n)
pq = αβ + n(α + β) + n²
pq = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\) + n\(\mathrm{\left ( -\frac{b}{a} \right )}\) + n²
pq = \(\mathrm{\frac{c-nb+an^{2}}{a}}\)

Susun PK baru :
x² − (p + q)x + pq = 0
x² − \(\left (\mathrm{\frac{-b+2an}{a}}  \right )\)x + \(\mathrm{\frac{c-nb+an^{2}}{a}}\) = 0  (kali a)
ax² − (−b + 2an)x + c − nb + an² = 0
ax² + bx − 2anx + c − nb + an² = 0
ax² − 2anx + an² + bx − nb + c = 0
a(x² − 2nx + n²) + b(x − n) + c = 0
a(x − n)² + b(x − n) + c = 0

Jadi, Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α + n dan β + n adalah
       a(x – n)² + b(x – n) + c = 0

Dengan cara yang sama, akan diperoleh :
(b). Untuk akar-akar α − n dan β − n :
       a(x + n)² + b(x + n) + c = 0

(c). Untuk akar-akar nα dan nβ :
       ax² + bnx + cn² = 0

(d). Untuk akar-akar \(\mathrm{ \frac{1}{\alpha}}\) dan \(\mathrm{\frac{1}{\beta}}\) :
        cx² + bx + a = 0

Contoh 5
Jika akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{2x^{2}+3x+1=0}\) adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a.  α + 2 dan β + 2
b.  α − 1 dan β − 1
c.  4α dan 4β
d.  \(\mathrm{\frac{1}{\alpha}}\) dan \(\mathrm{\frac{1}{\beta}}\)
e.  2α − 1 dan 2β − 1
f.  1 − 4α dan 1 − 4β
g.  \(\mathrm{-\frac{2}{\alpha}}\) dan \(\mathrm{-\frac{2}{\beta}}\)
Petunjuk : Gunakan sifat pada contoh 4

Jawab :
PK awal : 2x² + 3x + 1 = 0

(a).  α + 2 dan β + 2
Kedua akar ditambah 2, maka PK baru :
2(x − 2)² + 3(x − 2) + 1 = 0
2x² − 8x + 8 + 3x − 6 + 1 = 0
2x² − 5x + 3 = 0

(b).  α − 1 dan β − 1
Kedua akar dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)² + 3(x + 1) + 1 = 0

Kedua akar dikali 4, maka PK baru :
2x² + 2(4)x + 1(4²) = 0
2x² + 12x + 16 = 0
x² + 6x + 8 = 0

(d).  \(\mathrm{\frac{1}{\alpha}}\) dan \(\mathrm{\frac{1}{\beta}}\)
Kedua akar dibalik, maka PK baru :
1x² + 3x + 2 = 0
x² + 3x + 2 = 0

(e).  2α − 1 dan 2β − 1
Kedua akar dikali 2 dan dikurang 1, maka PK baru :
2(x + 1)² + 3(2)(x + 1) + 1(2²) = 0
2x² + 4x + 2 + 6x + 6 + 4 = 0
2x² + 10x + 12 = 0
x² + 5x + 6 = 0

(f).  1 − 4α dan 1 − 4β
Kedua akar dikali −4 dan ditambah 1, maka PK baru :
2(x − 1)² + 3(-4)(x − 1) + 1(−4)² = 0
2x² − 4x + 2 − 12x + 12 + 16 = 0
2x² − 16x + 30 = 0
x² − 8x + 15 = 0

(g).  \(\mathrm{-\frac{2}{\alpha}}\) dan \(\mathrm{-\frac{2}{\beta}}\)
Kedua akar dikali −2 dan dibalik, maka PK baru :
1x² + 3(-2)x + 2(−2)² = 0
x² − 6x + 8 = 0