Menyusun Fungsi Kuadrat Dalam Pelajaran Matematika

Persamaan fungsi kuadrat dapat disusun berdasarkan informasi-informasi yang diketahui dari grafik fungsi kuadrat tersebut.

Diketahui titik puncak atau titik balik

Persamaan fungsi kuadrat y = f(x) dengan titik puncak (x_p, y_p) dan melalui titik (x, y), dapat disusun menjadi : $$\mathrm{y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}}$$

Kurva memotong sumbu-x di dua titik

Persamaan fungsi kuadrat y = f(x) yang memotong sumbu-x di (x₁, 0 ) dan (x₂, 0 ) serta melalui titik (x, y), dapat disusun menjadi :$$\mathrm{y=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )}$$

Kurva melalui tiga titik sembarang

Persamaan fungsi kuadrat y = f(x) yang melalui tiga buah titik sembarang dapat ditentukan dengan mensubstitusi ketiga titik tersebut ke persamaan : $$\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}$$

Contoh 1
Susunlah fungsi kuadrat untuk setiap parabola berikut!

Grafik a
Diketahui titik puncak : (x_p, y_p) =  (2, 3)
dan melalui titik (x, y) = (0, −1)
 
Substitusi (x_p, y_p) dan (x, y) ke persamaan :
y  = a(x − x_p)² + y_p

−1 = a(0 − 2)² + 3
−1 = 4a + 3
−4 = 4a
a = −1

Substitusi (x_p, y_p) dan a ke persamaan :
y  = a(x − x_p)² + y_p
y  = −1 (x − 2)² + 3
y  = − (x² − 4x + 4) + 3
y  = −x² + 4x − 4 + 3
y = −x² + 4x − 1  atau
f(x) = −x² + 4x − 1

Grafik b
Kurva memotong sumbu-x di :
x₁ = 1 dan x₂ = 4
dan melalui titik (x, y) = (0, 2)

Substitusi  x₁, x₂ dan (x, y) ke persamaan :
y = a(x − x₁)(x − x₂)
2 = a(0 − 1)(0 − 4)
2 = 4a
a = \(\frac{1}{2}\)

Substitusi  x₁, x₂ dan a ke persamaan :
y = a(x − x₁)(x − x₂)
y = \(\frac{1}{2}\)(x − 1)(x − 4)
y = \(\frac{1}{2}\)(x² − 5x + 4)
y = \(\mathrm{\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x+2}\)  atau
\( \mathrm{f(x) =\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x+2}\)

Contoh 2
Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum 13 untuk x = 3. Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (0, 4), maka fungsi kuadrat tersebut adalah…

Jawab :
Diketahui titik puncak (x_p, y_p) = (3, 13)
dan melalui titik (x, y) = (0, 4)

y = a(x − x_p)² + y_p
4 = a (0 − 3)² + 13
4 = 9a + 13
−9 = 9a
a = −1

y = −1(x − 3)² + 13
y = −(x² − 6x + 9) + 13
y = −x² + 6x − 9 + 13
y = −x² + 6x + 4 atau
f(x) = −x² + 6x + 4

Contoh 3
Fungsi kuadrat yang melalui titik \((4, 2)\), \((3, −2)\) dan \((−1, 2)\) adalah…

Jawab :
Substitusi ketiga titik ke persamaan :
y = ax² + bx + c

Untuk titik (4, 2)
2 = a(4)² + b(4) + c
16a + 4b + c = 2   …………….. (1)

Untuk titik (3, −2)
−2 = a(3)² + b(3) + c
9a + 3b + c = −2   …………….. (2)
.
Untuk titik (−1, 2)
2 = a(−1)² + b(−1) + c
a − b + c = 2  …………………… (3)

Eliminasi (1) dan (2)
16a + 4b + c = 2
  9a + 3b + c = −2 _
  7a + b         =  4  …………….. (4)

Eliminasi (2) dan (3)
9a + 3b + c = −2
  a −   b + c = 2   _
8a + 4b       = −4   | ÷2
2a + b = −1 …………………….. (5)

Eliminasi (4) dan (5)
7a + b =  4
2a + b = −1 _
5a       = 5
a = 1

Dari persamaan (5)
2a + b = −1
2.1 + b = −1
b = −3

Dari persamaan (3)
a − b + c = 2
1 − (−3) + c = 2
4 + c = 2
c = −2

Susbtitusi a, b dan c ke persamaan \(\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}\) sehingga diperoleh :
y = x² − 3x − 2 atau
f(x) = x² − 3x − 2