Matriks Transformasi Geometri Mata Pelajaran Matematika

Misalkan peta titik A(x, y) oleh transformasi T adalah A'(x’, y’). Matriks \(\mathrm{M}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) kita sebut dengan matriks yang bersesuaian dengan transformasi T jika memenuhi persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix} x’\\ y’ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$

Matriks Refleksi (Pencerminan)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(x’, y’). Perhatikan gambar berikut :

Matriks Transformasi Geometri Mata Pelajaran Matematika

Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x’, y’) dapat kita tulis dalam persamaan
x’ = -x    ⇔   x’ = (-1)x + (0)y
y’ = -y    ⇔   y’ = (0)x + (-1)y
Dalam persamaan matriks kita tulis
$$\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}$$

Jadi, matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O adalah

$$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}$$
Dengan cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh matriks-matriks pencerminan lainnya sebagai berikut :
Matriks pencerminan terhadap sumbu x
\(\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)
Matriks pencerminan terhadap sumbu y
\(\mathrm{M_{y}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)
Matriks pencerminan terhadap garis y = x
\(\mathrm{M_{y=x}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)
Matriks pencerminan terhadap garis y = -x
\(\mathrm{M_{y=-x}}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\)

 Contoh 1 
Peta titik A(2, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah …

Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 2
\end{bmatrix}\)
Jadi, peta titik A adalah A'(3, 2)

 Contoh 2 
Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah (4, -2 ). Koordinat titik P adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4\\ -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & {\color{white} -}0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4\\ -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}x\\ -y
\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
4 = x       →  x = 4
-2 = -y    →  y = 2
Jadi, koordinat titik P adalah (4, 2)

 Contoh 3 
Bayangan garis 2x + y – 3 = 0 jika dicerminkan terhadap pusat O adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x\\ -y
\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x’ = -x  →  x = -x’
y’ = -y  →  y = -y’
Substitusi x = -x’ dan y = -y’ ke garis 2x + y – 3 = 0
2(-x’) + (-y’) – 3 = 0
-2x’ – y’ – 3 = 0
2x’ + y’ + 3 = 0
Jadi, bayangannya adalah 2x + y + 3 = 0

Matriks Rotasi (Perputaran)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat O sejauh θ adalah A'(x’, y’). Perhatikan gambar berikut

Matriks Transformasi Geometri Mata Pelajaran Matematika

Dari segitiga siku-siku OBA diperoleh
x = r cos α
y = r sin α 
Dari segitiga siku-siku OCA’ diperoleh
x’ = r cos (α + θ )
x’ = r (cos α cos θ – sin α sin θ)
x’ = r cos α cos θ – r sin α sin θ
x’ = x cos θ – y sin θ
y’ = r sin (α + θ )
y’ = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y’ = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y’y cos θ + x sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
Diperoleh
x’ = x cos θ – y sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta  & -sin\;\theta \\
sin\;\theta  & cos\;\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}$$
Jadi, matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat O sebesar θ adalah $$\mathrm{M_{[O,\;\theta ]}}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta  & -sin\;\theta\\
sin\;\theta & cos\;\theta
\end{bmatrix}$$
 Contoh 4 
Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah …
Jawab :
Searah jarum jam berarti θ = -90°
Ingat :
sin (-θ) = – sin θ
cos (-θ) = cos θ
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,(-90^{\circ})  & -sin\,(-90^{\circ})\\
sin\,(-90^{\circ}) & cos\,(-90^{\circ})
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 3
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0  & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 3
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 4
\end{bmatrix}\)

Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4)

 Contoh 5 
Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,180^{\circ} & -sin\,180^{\circ}\\
sin\,180^{\circ} & cos\,180^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x\\ -y
\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x’ = -x   →  x = -x’
y’ = -y   →  y = -y’
Substitusi x = -x’ dan y = -y’ ke garis y = 2x + 1
-y’ = 2(-x’) + 1
-y’ = -2x’ + 1
y’ = 2x’ – 1
Jadi, bayangannya adalah y = 2x – 1

Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat P(a, b) sejauh θ adalah A'(x’, y’). Perhatikan gambar berikut :

Matriks Transformasi Geometri Mata Pelajaran Matematika

Dari segitiga siku-siku PBA diperoleh
x – a = r cos α
y – b = r sin α
Dari segitiga siku-siku PCA’ diperoleh
x’ – a = r cos (α + θ)
x’ – a = r (cos α cos θ – sin α sin θ)
x’ – a = r cos α cos θ – r sin α sin θ
x’ – a = (x – a) cos θ – (y – b) sin θ
y’ – b = r sin (α + θ)
y’ – b = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y’ – b = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y’ – b = (y – b) cos θ + (x  – a) sin θ
y’ – b = (x – a) sin θ + (y  – b) cos θ
Diperoleh
x’ – a = (x – a) cos θ – (y – b) sin θ
y’ – b = (x – a) sin θ + (y – b) cos θ
Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix}
x’-\mathrm{a}\\ y’-b
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta  & -sin\;\theta \\
sin\;\theta  & cos\;\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b
\end{bmatrix}$$
 Contoh 6 
Persamaan bayangan parabola  y = x2 + 2x + 1 jika dirotasi dengan pusat P(2, -3) sejauh 270° adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’-2\\ y’+3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,270^{\circ} & -sin\,270^{\circ}\\
sin\,270^{\circ} & cos\,270^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-2\\ y+3
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’-2\\ y’+3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-2\\ y+3
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’-2\\ y’+3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
y+3\\ -x+2
\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x’ – 2 = y + 3     →  y = x’ – 5
y’ + 3 = -x + 2   →  x = -y’ – 1
Substitusi x dan y ke parabola y = x2 + 2x + 1
x’ – 5 = (-y’ – 1)2 + 2(-y’ – 1) + 1
x’ – 5 = (y’)2 + 2y’ + 1 – 2y’ – 2 + 1
x’ – 5 =  (y’)2
(y’)2 = x’ – 5
Jadi, persamaan bayangannya adalah y2 = x – 5

Matriks Dilatasi (Perkalian)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k adalah A'(x’, y’). Perhatikan gambar berikut :

Matriks Transformasi Geometri Mata Pelajaran Matematika

Sebagai catatan, titik A'(x’, y’) dapat berada disepanjang garis m, tergantung nilai k.
Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x’, y’) dapat kita tulis dalam persamaan
x’ = kx    ⇔  x’ = kx + 0y
y’ = ky    ⇔  y’ = 0x + ky
Dalam persamaan matrik kita tulis $$\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}$$ dengan matriks dilatasinya $$\mathrm{M_{[O,\;k]}}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}$$ Untuk pusat (a, b), persamaan matriksnya adalah $$\begin{bmatrix}
x’-\mathrm{a}\\ y’-b
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b
\end{bmatrix}$$
 Contoh 7 
Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 5 oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2x\\ 2y
\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x’ = 2x   →  x = \(\frac{1}{2}\)x’
y’ = 2y   →  y = \(\frac{1}{2}\)y’
Substitusi x dan y ke persamaan x2 + y2 = 5
(\(\frac{1}{2}\)x’)2 + (\(\frac{1}{2}\)y’)2 = 5
\(\frac{1}{4}\)(x’)2 + \(\frac{1}{4}\)(y’)2 = 5   (kali 4)
(x’)2 + (y’)2 = 20
Jadi, bayangannya adalah x2 + y2 = 20

 Contoh 8 
Peta titik R(1, 3) oleh dilatasi dengan pusat (-2, 4) dan faktor skala -2 adalah …
Jawab :
Titik R : (x, y) = (1, 3)
Pusat dilatasi : (a, b) = (-2, 4)
Faktor skala : k = -2
Peta titik R : (x’, y’) = ?
Persamaan matriksnya
\(\begin{bmatrix}
x’-\mathrm{a}\\ y’-b
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’+2\\ y’-4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1+2\\ 3-4
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’+2\\ y’-4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3\\ -1
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’+2\\ y’-4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-6\\ 2
\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x’ + 2 = -6   →   x’ = -8
y’ – 4 = 2       →   y’ = 6
Jadi, peta titik R adalah R'(-8, 6)

Cara lain menemukan matriks transformasi

Jika titik A(1, 0) dan B(0, 1) kita tuliskan sebagai matriks kolom, akan kita peroleh matriks identitas, yaitu : $$\mathrm{I}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} 1}
\end{bmatrix}$$
Hal yang menarik adalah, titik A dan B ini dapat kita gunakan untuk menemukan matriks yang bersesuaian dengan transformasi tertentu, seperti pencerminan ataupun perputaran.
Perhatikan gambar berikut :

Matriks Transformasi Geometri Mata Pelajaran Matematika

Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(-1, 0) dan B'(0, -1). Jika bayangannya ini kita susun menjadi matriks kolom, akan diperoleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O, yaitu : $$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} -1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(1, 0) dan B'(0, -1). $$\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° adalah A'(0, 1) dan B'(-1, 0). $$\mathrm{M_{[O,90^{\circ}]}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}
\end{bmatrix}$$
Untuk matriks-mariks transformasi lainnya dapat kita peroleh dengan cara yang sama, yaitu transformasikan titik A dan B, kemudian nyatakan bayangannya sebagai matriks kolom.

Matriks yang bersesuaian dengan dua transformasi berurutan

Misalkan  \(\mathrm{M_{1}}=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\)
adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T1 dan \(\mathrm{M_{2}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\)
adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T2 . Jika A'(x’, y’) adalah hasil pemetaan titik A(x, y) oleh transformasi T1 dan dilanjutkan transformasi T2 , ditulis T2 o T1 , maka peta titik A dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}$$ dengan matriks transformasinya $$\mathrm{M_{\left [T_{2}\,o\,T_{1}  \right ]}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}$$
Catatan : Urutan perkalian matriksnya harus diperhatikan, karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif.

 Contoh 9 
Diketahui T1 adalah transformasi pencerminan terhadap sumbu x dan  T2 adalah transformasi rotasi dengan pusat O sejauh 90°. Tentukan bayangan titik A(2, 5) oleh transformasi :
a.  T2 o T1
b.  T1 o T2
Jawab :
M1 = \(\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\)
   dan    M2 = \(\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\)

a.  T2 o T1  (T1 dilanjutkan T2)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
5\\ 2
\end{bmatrix}\)

Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T2 o T1 adalah A'(5, 2).

b.  T1 o T2  (T2 dilanjutkan T1)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}0 & -1\\
-1 & {\color{white} -}0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-5\\ -2
\end{bmatrix}\)

Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T1 o T2 adalah A'(-5, -2).

 Contoh 10 
Persamaan bayangan garis x + y = 1 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}1\; & 0\;\\
-2\; & 1\;
\end{bmatrix}\)
dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4 adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 0\\
0 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{white} -}1 & 0\\
-2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4 & 0\\
-8 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)

Jika diagonal matriks transformasinya tidak nol seperti kasus diatas, akan lebih mudah menggunakan sifat invers matriks dalam menentukan  x dan y.
\(\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4 & 0\\
-8 & 4
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4}x’\\ \frac{1}{2}x’+\frac{1}{4}y’
\end{bmatrix}\)

dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x = \(\frac{1}{4}\)x’
y = \(\frac{1}{2}\)x’ + \(\frac{1}{4}\)y’
Substitusi x dan y ke garis x + y = 1
\(\frac{1}{4}\)x’ + \(\frac{1}{2}\)x’ + \(\frac{1}{4}\)y’ = 1   (kali 4)
x’ + 2x’ + y’ = 4
3x’ + y’ = 4
Jadi, bayangannya adalah 3x + y = 4