Misalkan peta titik A(x, y) oleh transformasi T adalah A'(x’, y’). Matriks \(\mathrm{M}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) kita sebut dengan matriks yang bersesuaian dengan transformasi T jika memenuhi persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix} x’\\ y’ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$
Matriks Refleksi (Pencerminan)
Misalkan peta titik A(x, y) oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(x’, y’). Perhatikan gambar berikut :
Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x’, y’) dapat kita tulis dalam persamaan
x’ = -x ⇔ x’ = (-1)x + (0)y
y’ = -y ⇔ y’ = (0)x + (-1)y
Dalam persamaan matriks kita tulis
$$\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}$$
Jadi, matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O adalah
$$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}$$
Dengan cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh matriks-matriks pencerminan lainnya sebagai berikut :
Matriks pencerminan terhadap sumbu x
\(\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)
Matriks pencerminan terhadap sumbu y
\(\mathrm{M_{y}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)
Matriks pencerminan terhadap garis y = x
\(\mathrm{M_{y=x}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)
Matriks pencerminan terhadap garis y = -x
\(\mathrm{M_{y=-x}}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\)
Contoh 1
Peta titik A(2, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 2
\end{bmatrix}\)
Jadi, peta titik A adalah A'(3, 2)
Contoh 2
Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah (4, -2 ). Koordinat titik P adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4\\ -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & {\color{white} -}0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4\\ -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}x\\ -y
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
4 = x → x = 4
-2 = -y → y = 2
Jadi, koordinat titik P adalah (4, 2)
Contoh 3
Bayangan garis 2x + y – 3 = 0 jika dicerminkan terhadap pusat O adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x\\ -y
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
Substitusi x = -x’ dan y = -y’ ke garis 2x + y – 3 = 0
2(-x’) + (-y’) – 3 = 0
-2x’ – y’ – 3 = 0
2x’ + y’ + 3 = 0
Jadi, bayangannya adalah 2x + y + 3 = 0
Matriks Rotasi (Perputaran)
Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat O sejauh θ adalah A'(x’, y’). Perhatikan gambar berikut
Dari segitiga siku-siku OBA diperoleh
x = r cos α
y = r sin α
Dari segitiga siku-siku OCA’ diperoleh
x’ = r cos (α + θ )
x’ = r (cos α cos θ – sin α sin θ)
x’ = r cos α cos θ – r sin α sin θ
x’ = x cos θ – y sin θ
y’ = r sin (α + θ )
y’ = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y’ = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y’ = y cos θ + x sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
Diperoleh
x’ = x cos θ – y sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta & -sin\;\theta \\
sin\;\theta & cos\;\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}$$
Jadi, matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat O sebesar θ adalah $$\mathrm{M_{[O,\;\theta ]}}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta & -sin\;\theta\\
sin\;\theta & cos\;\theta
\end{bmatrix}$$
Contoh 4
Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah …
Jawab :
Searah jarum jam berarti θ = -90°
Ingat :
sin (-θ) = – sin θ
cos (-θ) = cos θ
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,(-90^{\circ}) & -sin\,(-90^{\circ})\\
sin\,(-90^{\circ}) & cos\,(-90^{\circ})
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 3
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 3
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 4
\end{bmatrix}\)
Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4)
Contoh 5
Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,180^{\circ} & -sin\,180^{\circ}\\
sin\,180^{\circ} & cos\,180^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x\\ -y
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
Substitusi x = -x’ dan y = -y’ ke garis y = 2x + 1
-y’ = 2(-x’) + 1
-y’ = -2x’ + 1
y’ = 2x’ – 1
Jadi, bayangannya adalah y = 2x – 1
Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat P(a, b) sejauh θ adalah A'(x’, y’). Perhatikan gambar berikut :
Dari segitiga siku-siku PBA diperoleh
x – a = r cos α
y – b = r sin α
Dari segitiga siku-siku PCA’ diperoleh
x’ – a = r cos (α + θ)
x’ – a = r (cos α cos θ – sin α sin θ)
x’ – a = r cos α cos θ – r sin α sin θ
x’ – a = (x – a) cos θ – (y – b) sin θ
y’ – b = r sin (α + θ)
y’ – b = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y’ – b = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y’ – b = (y – b) cos θ + (x – a) sin θ
y’ – b = (x – a) sin θ + (y – b) cos θ
Diperoleh
x’ – a = (x – a) cos θ – (y – b) sin θ
y’ – b = (x – a) sin θ + (y – b) cos θ
Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix}
x’-\mathrm{a}\\ y’-b
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta & -sin\;\theta \\
sin\;\theta & cos\;\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b
\end{bmatrix}$$
Contoh 6
Persamaan bayangan parabola y = x2 + 2x + 1 jika dirotasi dengan pusat P(2, -3) sejauh 270° adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’-2\\ y’+3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,270^{\circ} & -sin\,270^{\circ}\\
sin\,270^{\circ} & cos\,270^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-2\\ y+3
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’-2\\ y’+3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-2\\ y+3
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’-2\\ y’+3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
y+3\\ -x+2
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x’ – 2 = y + 3 → y = x’ – 5
y’ + 3 = -x + 2 → x = -y’ – 1
Substitusi x dan y ke parabola y = x2 + 2x + 1
x’ – 5 = (-y’ – 1)2 + 2(-y’ – 1) + 1
x’ – 5 = (y’)2 + 2y’ + 1 – 2y’ – 2 + 1
x’ – 5 = (y’)2
(y’)2 = x’ – 5
Jadi, persamaan bayangannya adalah y2 = x – 5
Matriks Dilatasi (Perkalian)
Misalkan peta titik A(x, y) oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k adalah A'(x’, y’). Perhatikan gambar berikut :
Sebagai catatan, titik A'(x’, y’) dapat berada disepanjang garis m, tergantung nilai k.
Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x’, y’) dapat kita tulis dalam persamaan
x’ = kx ⇔ x’ = kx + 0y
y’ = ky ⇔ y’ = 0x + ky
Dalam persamaan matrik kita tulis $$\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}$$ dengan matriks dilatasinya $$\mathrm{M_{[O,\;k]}}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}$$ Untuk pusat (a, b), persamaan matriksnya adalah $$\begin{bmatrix}
x’-\mathrm{a}\\ y’-b
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b
\end{bmatrix}$$
Contoh 7
Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 5 oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2x\\ 2y
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x’ = 2x → x = \(\frac{1}{2}\)x’
y’ = 2y → y = \(\frac{1}{2}\)y’
Substitusi x dan y ke persamaan x2 + y2 = 5
(\(\frac{1}{2}\)x’)2 + (\(\frac{1}{2}\)y’)2 = 5
\(\frac{1}{4}\)(x’)2 + \(\frac{1}{4}\)(y’)2 = 5 (kali 4)
(x’)2 + (y’)2 = 20
Jadi, bayangannya adalah x2 + y2 = 20
Contoh 8
Peta titik R(1, 3) oleh dilatasi dengan pusat (-2, 4) dan faktor skala -2 adalah …
Jawab :
Titik R : (x, y) = (1, 3)
Pusat dilatasi : (a, b) = (-2, 4)
Faktor skala : k = -2
Peta titik R : (x’, y’) = ?
Persamaan matriksnya
\(\begin{bmatrix}
x’-\mathrm{a}\\ y’-b
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’+2\\ y’-4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1+2\\ 3-4
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’+2\\ y’-4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3\\ -1
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’+2\\ y’-4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-6\\ 2
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x’ + 2 = -6 → x’ = -8
y’ – 4 = 2 → y’ = 6
Jadi, peta titik R adalah R'(-8, 6)
Cara lain menemukan matriks transformasi
Jika titik A(1, 0) dan B(0, 1) kita tuliskan sebagai matriks kolom, akan kita peroleh matriks identitas, yaitu : $$\mathrm{I}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} 1}
\end{bmatrix}$$
Hal yang menarik adalah, titik A dan B ini dapat kita gunakan untuk menemukan matriks yang bersesuaian dengan transformasi tertentu, seperti pencerminan ataupun perputaran.
Perhatikan gambar berikut :
Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(-1, 0) dan B'(0, -1). Jika bayangannya ini kita susun menjadi matriks kolom, akan diperoleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O, yaitu : $$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} -1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(1, 0) dan B'(0, -1). $$\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° adalah A'(0, 1) dan B'(-1, 0). $$\mathrm{M_{[O,90^{\circ}]}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}
\end{bmatrix}$$
Untuk matriks-mariks transformasi lainnya dapat kita peroleh dengan cara yang sama, yaitu transformasikan titik A dan B, kemudian nyatakan bayangannya sebagai matriks kolom.
Matriks yang bersesuaian dengan dua transformasi berurutan
Misalkan \(\mathrm{M_{1}}=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\)
adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T1 dan \(\mathrm{M_{2}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\)
adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T2 . Jika A'(x’, y’) adalah hasil pemetaan titik A(x, y) oleh transformasi T1 dan dilanjutkan transformasi T2 , ditulis T2 o T1 , maka peta titik A dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}$$ dengan matriks transformasinya $$\mathrm{M_{\left [T_{2}\,o\,T_{1} \right ]}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}$$
Catatan : Urutan perkalian matriksnya harus diperhatikan, karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif.
Contoh 9
Diketahui T1 adalah transformasi pencerminan terhadap sumbu x dan T2 adalah transformasi rotasi dengan pusat O sejauh 90°. Tentukan bayangan titik A(2, 5) oleh transformasi :
a. T2 o T1
b. T1 o T2
Jawab :
M1 = \(\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\)
dan M2 = \(\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\)
a. T2 o T1 (T1 dilanjutkan T2)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
5\\ 2
\end{bmatrix}\)
Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T2 o T1 adalah A'(5, 2).
b. T1 o T2 (T2 dilanjutkan T1)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}0 & -1\\
-1 & {\color{white} -}0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-5\\ -2
\end{bmatrix}\)
Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T1 o T2 adalah A'(-5, -2).
Contoh 10
Persamaan bayangan garis x + y = 1 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}1\; & 0\;\\
-2\; & 1\;
\end{bmatrix}\)
dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4 adalah …
Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 0\\
0 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{white} -}1 & 0\\
-2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4 & 0\\
-8 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}\)
Jika diagonal matriks transformasinya tidak nol seperti kasus diatas, akan lebih mudah menggunakan sifat invers matriks dalam menentukan x dan y.
\(\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4 & 0\\
-8 & 4
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x’\\ y’
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
x\\ y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4}x’\\ \frac{1}{2}x’+\frac{1}{4}y’
\end{bmatrix}\)
dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x = \(\frac{1}{4}\)x’
y = \(\frac{1}{2}\)x’ + \(\frac{1}{4}\)y’
Substitusi x dan y ke garis x + y = 1
\(\frac{1}{4}\)x’ + \(\frac{1}{2}\)x’ + \(\frac{1}{4}\)y’ = 1 (kali 4)
x’ + 2x’ + y’ = 4
3x’ + y’ = 4
Jadi, bayangannya adalah 3x + y = 4