Metode-metode penyelesaian limit fungsi aljabar dapat pula kita terapkan dalam penyelesaian limit fungsi trigonometri, contohnya substitusi langsung. Selama hasil substitusi mempunyai nilai atau terdefinisi, maka nilai tersebut adalah limit yang kita cari.
Sebagai contoh,
\(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}}\) sin x = sin 0 = 0
\(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}}\) cos x = cos 0 = 1
\(\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\,\frac{sin\,\pi x}{x}}\) = \(\mathrm{\frac{sin\,\pi(1)}{1}}\) = sin π = 0
Jika dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), alternatif penyelesaiannya adalah dengan menggunakan identitas atau sifat-sifat trigonometri. Yang tujuannya adalah mengeliminasi atau mencoret bentuk-bentuk pembuat nol pada pembilang dan penyebut.
Contoh 1
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{tan\,x}{sin\,2x}}\)
Jawab :
Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk 0/0.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{tan\,x}{sin\,2x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;tan\,x\cdot \frac{1}{sin\,2x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{si{\color{red}\not}n\,x}{cos\,x}\cdot \frac{1}{2\,si{\color{red}\not}n\,x\,cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1}{2\,cos^{2}x}} \\
& = \mathrm{\frac{1}{2\,(cos\,0)^{2}}} \\
& = \frac{1}{2(1)^{2}} \\
& = \frac{1}{2}
\end{align}\)
Contoh 2
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{1\,-\,cos\,x}{sin\,x}}\)
Jawab :
Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk 0/0.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{1-cos\,x}{sin\,x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1-cos\,x}{sin\,x}\cdot \frac{1+cos\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1-cos^{2}x}{sin\,x(1+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin^{{\color{red}\not}2}x}{si{\color{red}\not}n\,x(1+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{\frac{sin\,0}{1+cos\,0}} \\
& = \frac{0}{1+1}=0
\end{align}\)
Tidak semua limit trigonometri bentuk 0/0 dapat diselesaikan hanya dengan manipulasi aljabar ataupun dengan menggunakan identitas trigonometri seperti kasus diatas. Limit bentuk tak tentu 0/0 dimana fungsinya merupakan gabungan dari fungsi trigonometri dan fungsi aljabar dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat berikut.
Sifat A Sifat istimewa limit fungsi trigonometri
\(\begin{align}\mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{sin\,x}{x}\,=1\;\;\; ……………….(A.1)}\end{align}\)
Bukti : Intuitif
Secara intuitif, \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin\,x}{x}=1}\) artinya ketika x mendekati 0 namun tidak sama dengan nol, maka (sin x) / (x) mendekati 1.
Misalkan titik A dan B terletak pada lingkaran yang berjari-jari 1 satuan dan titik P terletak ditengah ruas garis AB, seperti yang terlihat pada gambar (a).
Dari segitiga OAP diperoleh AP = sin x, akibatnya panjang ruas garis AB = 2sin x.
Panjang busur AB = \(\mathrm{\frac{2x}{2\pi }\cdot }\) 2π(1) = 2x.
Perbandingan ruas garis AB dan busur AB :
\(\mathrm{\frac{ruas\;garis\;AB}{busur\;AB}=\frac{2\,sin\,x}{2x}=\frac{sin\,x}{x}}\)
Jika sudut x kita perkecil, maka selisih dari panjang ruas garis AB dan panjang busur AB akan semakin kecil, dapat dilihat ilustrasinya dari gambar (a) dan (b). Jika sudut x kita perkecil sampai mendekati nol namun tidak sama dengan nol, maka selisihnya akan mendekati nol. Akibatnya, perbandingan antara keduanya akan mendekati 1.
Secara intuitif, dapat kita simpulkan bahwa ketika x mendekati 0 namun tidak sama dengan nol, maka (sin x) / x akan mendekati 1. Dalam notasi limit, pernyataan tersebut ditulis \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin\,x}{x}=1}\).
\(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{tan\,x}{x}\,=1\;\;\; ……………….(A.2)}\end{align}\)
Bukti :
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{tan\,x}{x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{cos\,x}\cdot \frac{1}{x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{x}\cdot \frac{1}{cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{x}\cdot \lim_{x \to 0}\;\frac{1}{cos\,x}} \\
& = \mathrm{1 \cdot \frac{1}{cos\,0}} \\
& = 1 \cdot \frac{1}{1} \\
& = 1
\end{align}\)
\(\begin{align}\mathrm{ \lim_{x \to 0}\,\frac{1\,-\,cos\,x}{x}=0\;\;\; ………………..(A.3)}\end{align}\)
Bukti :
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{1-cos\,x}{x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1-cos\,x}{x}\cdot \frac{1+cos\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1-cos^{2}x}{x(1+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin^{2}x}{x(1+cos\,x)}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{x}\cdot \frac{sin\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{x}\cdot \lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,x}{1+cos\,x}} \\
& = \mathrm{1\cdot \frac{sin\,0}{1+cos\,0}} \\
& = 1\cdot \frac{0}{1+1} \\ &=0
\end{align}\)
Contoh 3
Berdasarkan sifat A, tunjukkan bahwa
a. \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{x}{sin\,x}=1}\)
b. \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{x}{tan\,x}=1}\)
Jawab :
\(\begin{align}
\mathrm{a.\;\;\lim_{x \to 0}\frac{x}{sin\,x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{x}{sin\,x}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1}{\frac{sin\,x}{x}}} \\
& = \mathrm{\frac{_{x \to 0}^{lim}\;1}{_{x \to 0}^{lim}\;\frac{sin\,x}{x}}} \\
& = \frac{1}{1} \\
& = 1 \\
\end{align}\)
\(\begin{align}
\mathrm{b.\;\;\lim_{x \to 0}\frac{x}{tan\,x}} & = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{x}{tan\,x}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{1}{\frac{tan\,x}{x}}} \\
& = \mathrm{\frac{_{x \to 0}^{lim}\;1}{_{x \to 0}^{lim}\;\frac{tan\,x}{x}}} \\
& = \frac{1}{1} \\
& = 1 \\
\end{align}\)
Contoh 4
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin\,3x}{5x}}\)
Jawab :
Misalkan u = 3x, sehingga x = u/3
Jika x → 0 maka u → 0, akibatnya
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{sin\,3x}{5x}} & = \mathrm{\lim_{u \to 0}\;\frac{sin\,u}{5\left ( \frac{u}{3} \right )}} \\
& = \mathrm{\frac{3}{5}\cdot \lim_{u \to 0}\;\frac{sin\,u}{u}} \\
& = \frac{3}{5}\cdot 1 \\
& = \frac{3}{5}
\end{align}\)
Contoh 5
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{x}{tan\,4x}}\)
Jawab :
Misalkan u = 4x, sehingga x = u/4.
Jika x → 0 maka u → 0, akibatnya
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{x}{tan\,4x}} & = \mathrm{\lim_{u \to 0}\;\frac{\frac{u}{4}}{tan\,u}} \\
& = \mathrm{\frac{1}{4}\cdot \lim_{u \to 0}\;\frac{u}{tan\,u}} \\
& = \frac{1}{4}\cdot 1 \\
& = \frac{1}{4}
\end{align}\)
Untuk a dan b konstan, tunjukkan \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin\,ax}{bx}}\) = \(\mathrm{\frac{a}{b}}\)
Jawab :
Jika x → 0 maka u → 0, akibatnya
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\frac{sin\,ax}{bx}} & = \mathrm{\lim_{u \to 0}\;\frac{sin\,u}{b\left ( \frac{u}{a} \right )}} \\
& = \mathrm{\frac{a}{b}\cdot \lim_{u \to 0}\;\frac{sin\,u}{u}} \\
& = \mathrm{\frac{a}{b}\cdot 1} \\
& = \mathrm{\frac{a}{b}}
\end{align}\)
Sifat B Untuk a dan b konstan berlaku $$ \mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{sin\,ax}{bx}=\frac{a}{b}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x \to 0}\,\frac{ax}{sin\,bx}=\frac{a}{b}}$$ $$ \mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{tan\,ax}{bx}=\frac{a}{b}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x \to 0}\,\frac{ax}{tan\,bx}=\;\frac{a}{b}}$$ $$ \mathrm{\lim_{x \to 0}\,\frac{sin\,ax}{tan\,bx}=\frac{a}{b}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x \to 0}\,\frac{tan\,ax}{sin\,bx}=\frac{a}{b}}$$
Sifat B diatas merupakan pengembangan dari sifat A. Dengan menggunakan sifat ini, contoh 4 dan 5 dapat diselesaikan secara instan hanya dengan memperhatikan koefisien variabelnya.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,3x}{5x}=\frac{3}{5}} \\
\end{align}\)
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{x}{tan\,4x}=\frac{1}{4}} \\
\end{align}\)
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 0}\;\frac{sin\,3x}{tan\,4x}=\frac{3}{4}} \\
\end{align}\)
Contoh 7
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}\,\frac{sin\,(x\,-\,2)}{(3x\,-\,6)}}\)
Jawab :
Misalkan u = x – 2
Jika x → 2 maka u → 0, akibatnya
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to 2}\,\frac{sin(x-2)}{(3x-6)}} & = \mathrm{\lim_{x \to 2}\,\frac{sin\,(x-2)}{3(x-2)}} \\
& = \mathrm{\lim_{u \to 0}\,\frac{sin\,u}{3u}} \\
& = \frac{1}{3}
\end{align}\)
Contoh 8
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to -\pi }^{lim}\,\frac{(x\,+\,\pi )}{tan\,(2x\,+\,2\pi )}}\)
Jawab :
Misalkan u = x + π
Jika x → -π maka u → 0, akibatnya
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to -\pi }\,\frac{(x+\pi )}{tan(2x+2\pi )}} & = \mathrm{\lim_{x \to -\pi }\,\frac{(x+\pi )}{tan\,2(x+\pi )}} \\
& = \mathrm{\lim_{u \to 0}\,\frac{u}{tan\,2u}} \\
& = \frac{1}{2}
\end{align}\)
Latihan Soal Limit Fungsi Trigonometri
Sifat-sifat atau rumus-rumus trigonometri akan sangat membantu dalam menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Dan tidak lupa juga teorema-teorema limit, khususnya teorema dasar limit. Berikut beberapa soal latihan limit fungsi trigonometri!
Latihan 1
Hitung \(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\,\frac{tan^{2}4x}{3x}}\)
Latihan 2
Hitung \(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\,\frac{sin\,3x\,-\,sin\,x}{x\,tan\left ( x\,+\,\frac{\pi }{4} \right )}}\)
Latihan 3
Hitung \(\mathrm{_{x \to \frac{1}{2} }^{lim}\,\frac{(3\,-\,2x)\,sin(2x\,-\,1)}{4x^{2}-\,1}}\)
Latihan 4
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}\,\frac{x\,-\,1}{tan(x^{2}-\,1)}}\)
Latihan 5
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 0 }^{lim}\,\frac{2x\,+\,sin\,4x}{4x\,-\,tan\,2x}}\)
Latihan 6
Hitung \(\mathrm{_{x \to \frac{\pi }{4} }^{lim}\,\frac{sin\left ( \frac{\pi }{4}\,-\,x \right )}{cot\left ( \frac{\pi }{4}\,+\,x \right )}}\)
Latihan 7
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to \frac{\pi }{4}}^{lim}\,\frac{1\,-\,tan\,x}{cos\,2x}}\)
Latihan 8
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{1\,-\,cos\,6x}{x\,tan\,2x}}\)
Latihan 9
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin^{3}(2x)}{x\,tan\left (x^{2} \right )}}\)
Latihan 10
Hitunglah \(\mathrm{_{x \to 0}^{lim}\,\frac{sin(x\,+\,sin\,x)}{x}}\)