Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut dapat ditentukan dengan rumus : $$\mathrm{\alpha +\beta =-\frac{b}{a}}$$ $$\mathrm{\alpha \beta =\frac{c}{a}}$$
Untuk selisih akar-akar persamaan kuadrat, dirumuskan sebagai berikut :
$$\mathrm{\alpha -\beta =\frac{\sqrt{D}}{a}\:\:\:;\:\alpha > \beta }$$ $$\mathrm{\alpha -\beta =-\frac{\sqrt{D}}{a}\:\:\:;\:\alpha < \beta }$$ dengan D adalah diskriminan persamaan kuadrat, dirumuskan dengan :
$$\mathrm{D=b^{2}-4ac}$$
Contoh 1
Akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{x^{2}-3x+2=0}\) adalah α dan β. Untuk α > β, tentukan nilai dari :
a.  α + β
b.  αβ
c.  α − β
d.  \(\frac{1}{\alpha }\) + \(\frac{1}{\beta }\)
e.  α² + β²
f.  α² − β²
g.  \(\frac{\alpha }{\beta }\) + \(\frac{\beta }{\alpha }\)
h.  α³ + β³
i.  α³ − β³

Jawab :
a = 1
b = −3
c = 2

a.  α + β = \(\mathrm{-\frac{b}{a }}\)
a.  α + β = \(\mathrm{-\frac{(-3)}{1 }}\)
a.  α + β = 3

b.  αβ = \(\mathrm{\frac{c}{a }}\)
b.  αβ = \(\mathrm{\frac{2}{1 }}\)
b.  αβ = 2

c.  α − β = \(\mathrm{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}}\)
c.  α − β = \(\mathrm{\frac{\sqrt{(-3)^{2}-4.1.2}}{1}}\)
c.  α − β = 1

d.  \(\frac{1}{\alpha }\) + \(\frac{1}{\beta }\) = \(\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }\)
d.  \(\frac{1}{\alpha }\) + \(\frac{1}{\beta }\) = \(\frac{3}{2}\)

e.  α² + β² = (α + β)² − 2αβ
e.  α² + β² = (3)² − 2.2
e.  α² + β² = 5

f.  α² − β² = (α + β)(α − β)
f.  α² − β² = (3)(1)
f.  α² − β² = 3

g.  \(\frac{\alpha }{\beta }\) + \(\frac{\beta }{\alpha }\) = \(\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }\)
g.  \(\frac{\alpha }{\beta }\) + \(\frac{\beta }{\alpha }\) = \(\frac{5}{2 }\)

h. α³ + β³ = 9

i.  α³ − β³ = (α − β)³ + 3αβ(α −β)
i.  α³ − β³ = (1)³ + 3.2(1)
i.  α³ − β³ = 7

Contoh 2
Akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{x^{2}-(m+2)x+8=0}\) adalah α dan β dengan α, β > 0. Jika \(\alpha =2\beta \), maka nilai m adalah…

Jawab :
a = 1
b = −(m + 2)
c = 8

α + β = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\)
α + β = \(\mathrm{-\frac{−(m + 2)}{1}}\)
α + β = m + 2 …………………….(1)

αβ = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\)
αβ = \(\mathrm{\frac{8}{1}}\)
αβ = 8 ……………………………….(2)

Substitusi α = 2β ke (2)
(2β)β = 8
β² = 4
β = ±2
Karena β > 0, maka β = 2

Substitusi α = 2β ke (1)
(2β) + β = m + 2
3β = m + 2
3.2 = m + 2
⇒ m = 4

Contoh 3
Akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) adalah α dan β. Jika \(\alpha =n\beta \), tunjukkan bahwa \(\mathrm{nb^{2}=ac(n+1)^{2}}\) !

Jawab :
α + β = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\) …………………..(1)
αβ = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\) ………………………….(2)

Substitusi α = nβ ke (1)
(nβ) + β = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\)
β(n + 1) = \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\)
β = \(\mathrm{-\frac{b}{a(n+1)}}\) ……………….. (3)

Substitusi α = nβ ke (2)
(nβ)β = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\)
nβ² = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\)
β² = \(\mathrm{\frac{c}{an}}\) ………………………..(4)

Substitusi (3) ke (4)
\(\mathrm{\left (\frac{-b}{a(n+1)}  \right )^{2}=\frac{c}{an}}\)
\(\mathrm{\frac{b^{2}}{a^{2}(n+1)^{2}}=\frac{c}{an}}\)
anb² = a²c(n + 1)²
nb² = ac(n + 1)²

Contoh 4
Akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{x^{2}+(k-1)x+3=0}\) adalah α dan β. Jika \(\alpha =3\beta \) dan k > 0,  maka nilai k yang memenuhi adalah…