Jenis dan Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Avatar of EduGoEdu
Posted by By EduGoEdu 3 Min Read 658 Views
Jenis dan Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\)  dapat ditentukan berdasarkan nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut.

Diskriminan persamaan kuadrat dilambangkan dengan D dan dirumuskan dengan : $$\mathrm{D=b^{2}-4ac}$$1.  D ≥ 0 : akar real/nyata
2.  D > 0 : akar real berlainan
3.  D = 0 : akar real sama/kembar
4.  D < 0 : akar tidak real (imajiner)

      Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :
      1.  Kedua akar positif
           D ≥ 0
           x1 + x2 > 0
           x1 x2 > 0

      2.  Kedua akar negatif
           D ≥ 0
           x1 + x2 < 0
           x1 x2 > 0

      3.  Kedua akar berlainan tanda
           D > 0
           x1 x2 < 0   

      4.  Kedua akar bertanda sama
           D ≥ 0
           x1 x2 > 0

      5.  Kedua akar saling berlawanan
           D > 0
           x1 + x2 = 0  (b = 0)
           x1 x2 < 0
         
      6. Kedua akar saling berkebalikan
           D > 0
           x1 x2 = 1  (c = a)

      Contoh 1
      Jika persamaan kuadrat \(\mathrm{x^{2}-6x+2p-1=0}\) tidak mempunyai akar real, maka nilai p yang memenuhi adalah…

      Jawab :
      a = 1
      b = −6
      c = 2p − 1

      Syarat PK tidak mempunyai akar real :
      D < 0
      b2 − 4ac < 0
      (−6)2 − 4 . 1 . (2p − 1)  < 0
      36 − 8p + 4 < 0
      −8p < −40
      p > 5

      Contoh 2
      Tentukan nilai m jika persamaan kuadrat \(\mathrm{(m+1)x^{2}-8x+2=0}\) mempunyai akar kembar!

      Jawab :
      a = m + 1
      b = −8
      c = 2

      Syarat PK mempunyai akar kembar :
      D = 0
      b2 − 4ac = 0
      (−8)2 − 4 . (m + 1) . 2 = 0
      64 − 8m − 8 = 0
      56 − 8m = 0
      −8m = −56
      m = 7

      Contoh 3
      Jika persamaan kuadrat \(\mathrm{x^{2}+(k-1)x+1=0}\) mempunyai akar-akar real dan berbeda, maka nilai k yang memenuhi adalah…

      Jawab :
      a = 1
      b = k − 1
      c = 1

      Syarat akar real dan berbeda :
      D > 0
      b2 − 4ac > 0
      (k − 1)2 − 4 . 1 . 1 > 0
      k2 − 2k  + 1 − 4  > 0
      k2 − 2k − 3  > 0

      Pembuat nol :
      k2 − 2k − 3  = 0
      (k + 1)(k − 3) = 0
      k = −1 atau k = 3

      Jenis dan Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat

      k < −1 atau k > 3


      Contoh 4
      Jika akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{2x^{2}+(m-3)x+1-m^{2}=0}\) saling berlawanan, tentukan nilai dari \(\mathrm{x{_{1}}^{2}+x{_{2}}^{2}}\)!

      Jawab :
      a = 2
      b = m − 3
      c = 1 − m2

      Kedua akar saling berlawanan, maka :
      x1 + x2 = 0
      \(\mathrm{-\frac{b}{a}}\) = 0
      b = 0
      m − 3 = 0
      m = 3

      x1 x2 = \(\mathrm{\frac{c}{a}}\)
      x1 x2 = \(\mathrm{\frac{1-m^{2}}{2}}\)
      x1 x2 = \(\mathrm{\frac{1-3^{2}}{2}}\)
      x1 x2 = −4

      x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1 x2
      x12 + x22 = (0)2 − 2(−4)
      x12 + x22 = 8

      Contoh 5
      Diketahui  akar-akar persamaan kuadrat \(\mathrm{(2p+1)x^{2}+25x+p^{2}-14=0}\) saling berkebalikan. Untuk p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah…

      Jawab :
      a = 2p + 1
      b = 25
      c = p2 − 14

      Kedua akar saling berkebalikan maka :
      x1 x2 = 1
      \(\mathrm{\frac{c}{a}}\) = 1
      c = a
      p2 − 14 = 2p + 1
      p2 − 2p − 15 = 0
      (p − 5)(p + 3) = 0
      p = 5 atau p = −3

      Karena p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah p = 5