Bentuk umum dari deret geometri tak hingga adalah
dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio.
Tanda titik tiga (…) diatas menandakan bahwa penjumlahan dilanjutkan terus menerus dengan mengikuti pola deret tersebut.
Ada dua istilah yang sering digunakan menyangkut barisan/deret tak hingga, yaitu konvergen dan divergen.
Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan mempunyai jumlah jika dan hanya jika |r| < 1.
Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika dan hanya jika |r| ≥ 1. Deret divergen tidak mempunyai jumlah.
Catatan :
|r| < 1 ≡ -1 < r < 1
|r| ≥ 1 ≡ r ≤ -1 atau r ≥ 1
Contoh 1
Periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen dengan mengamati rasionya!
(a) 3 + 6 + 12 + 24 + …
(b) 2 + 2 + 2 + 2 + …
(c) 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
(d) 3 – 1 + 1/3 – 1/9 + …
(e) -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
(f) 2 – 6 + 18 – 54 + …
Jawab :
(a) 3 + 6 + 12 + 24 + … (divergen)
karena |r| = |2| ≥ 1
(b) 2 + 2 + 2 + 2 + … (divergen)
karena |r| = |1| ≥ 1
(c) 1/2 + 1/4 + + 1/8 + 1/16 + … (konvergen)
karena |r| = |1/2| < 1
(d) 3 – 1 + 1/3 – 1/9 + … (konvergen)
karena |r| = |-1/3| < 1
(e) -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … (divergen)
karena |r| = |-1| ≥ 1
(f) 2 – 6 + 18 – 54 + … (divergen)
karena |r| = |-3| ≥ 1
Coba perhatikan kembali rumus jumlah parsial n suku pertama barisan geometri berikut :
\(\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-\;r^{n})}{1-\;r}}\), r ≠ 1.
Ketika n semakin besar, tentunya semakin banyak suku-suku yang dijumlahkan. Bagaimana jika n menuju tak hingga? Apakah Sn juga akan menuju ke suatu bilangan tertentu ?
Seandainya Sn menuju ke suatu bilangan S ketika n menuju tak hingga, cukup beralasan jika kita mengatakan bahwa S adalah jumlah dari deret tak hingga tersebut.
Jumlah dari suatu deret tak hingga adalah suatu nilai yang dituju Sn (jumlah parsial deret tersebut), ketika n bertambah besar menuju tak hingga.
Dengan kata lain, jumlah dari suatu deret tak hingga adalah limit dari jumlah parsial deret tersebut. Dalam notasi limit kita tulis $$\mathrm{S=\lim_{n \to \infty}\,S_{n}}$$
Dengan demikian, jumlah dari deret geometri tak hingga dapat dinyatakan sebagai $$\mathrm{S=\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}$$
Jika |r| < 1 maka limit dari rn untuk n menuju tak hingga akan sama dengan nol. Akibatnya, $$\mathrm{\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a}{1-r}} $$
Misalkan S = a + ar + ar2 + …
Jika |r| < 1, maka $$\mathrm{S=\frac{a}{1-r}} $$
Contoh 2
Hitung jumlah deret tak hingga berikut!
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
Jawab :
a = 1 dan r = 1/2
Jumlah deret tak hingga tersebut adalah
\(\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-1/2}=2}\end{align} \)
Jawabannya sederhana, deret aritmatika sudah pasti divergen, karena suku-sukunya tidak pernah menuju ke suatu bilangan tertentu, melainkan terus bertambah besar (b > 0) atau bertambah kecil (b < 0). Sehingga, jumlah tak hingga suku-sukunya tidak ada (±∞). Tentu saja hal ini tidak menarik untuk dibahas.
Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan dengan Un = 2-n. Tentukan jumlah tak hingga suku-suku dari barisan tersebut!
Jawab :
Diketahui : Un = 3-n.
U1 = 3–1.= 1/3
U2 = 3–2 = 1/9
Diperoleh
a = 1/3
r = \(\frac{1/9}{1/3}\) = 1/3
Jumlah tak hingga suku-sukunya adalah
\(\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}\;\; \Rightarrow \;\; S=\frac{1/3}{1-1/3}=1/2}\end{align} \)
Latihan 2
Jika jumlah dari deret geometri tak hingga sama dengan tiga kali suku pertamanya, maka rasio deret tersebut adalah …
Jawab :
Diketahui : S = 3a
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\mathrm{3a}&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{\frac{a}{3a}} \\
\mathrm{1-r}&=\frac{1}{3} \\
\mathrm{r}&=\frac{2}{3}
\end{align}\)
Jadi, rasio deret tersebut adalah 2/3.
Latihan 3
Misalkan suku pertama deret geometri tak hingga adalah a. Tentukan batas-batas nilai a agar deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.
Jawab :
Dikethaui S = 2
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;2&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2(1-r)} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2-2r} \\
\mathrm{2r}&=\mathrm{2-a} \\
\mathrm{r}&= \frac{\mathrm{2-a}}{2}
\end{align}\)
Agar deret geometri yang dimaksud konvergen, haruslah -1 < r < 1
\(\begin{align}
-1&<\mathrm{\frac{2-a}{2}<1\;\;\;(kali\; 2)} \\
-2&<\mathrm{2-a<2\;\;\;(kurang\;2)} \\
-4&<\mathrm{-a<0\;\;\;\;\;\;\,(kali\;(-1))} \\
4&>\mathrm{a}>0 \\
0&<\mathrm{a}<4
\end{align}\)
Jadi, deret tersebut akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4
Latihan 4
Tentukan x agar jumlah tak hingga dari deret geometri berikut sama dengan 1
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{3}{(x+3)}+\frac{6}{(x+3)^{2}}+\frac{12}{(x+3)^{3}}+\;…}
\end{align}\)
Jawab :
Suku pertama deret tersebut adalah
a = \(\mathrm{\frac{3}{(x+3)}}\)
Rasio dari deret tersebut adalah
r = \(\mathrm{\frac{U_{2}}{U_{1}}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{x+3}}\)
Diketahui S = 1
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;1&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{ a} \\
1&= \mathrm{a+r} \\
1&= \mathrm{\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x+3}} \\
1&= \mathrm{\frac{5}{x+3}} \\
\mathrm{x+3}&= 5 \\
\mathrm{x}&=2
\end{align}\)
Latihan 5
Tentukan nilai dari pq, jika diketahui
p = log 2 + log22 + log32 + log42 + …
q = log 5 + log25 + log35 + log45 + …
Jawab :
p = log 2 + log22 + log32 + log42 + …
Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 2 , r = log 2 dan S = p
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{p}&=\mathrm{\frac{log\,2}{1-log\,2}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,10-log\,2}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,5}} \\
&= \mathrm{\,^{5}log\,2}
\end{align}\)
q = log 5 + log25 + log35 + log45 + …
Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 5 , r = log 5 dan S = q
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{q}&=\mathrm{\frac{log\,5}{1-log\,5}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,10-log\,5}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,2}} \\
&= \mathrm{\,^{2}log\,5}
\end{align}\)
Jadi, pq = 5log 2 . 2log 5 = 5log 5 = 1
Latihan 6
Tunjukkan bahwa perbandingan dari jumlah suku-suku genap (Sgenap) dengan jumlah suku-suku ganjil (Sganjil) dari suatu deret geometri tak hingga sama dengan rasio deret tak hingga tersebut
\(\begin{align}
\left (\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r} \right )
\end{align}\)
Jawab :
Jumlah suku suku genapnya :
Sgenap = U2 + U4 + U6 + …
Sgenap = ar + ar3 + ar5 + …
Perhatikan bahwa jumlah suku-suku genapnya membentuk deret geometri dengan suku pertama ar dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku genapnya adalah $$\begin{align}
\mathrm{S_{genap}=\frac{ar}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Jumlah suku-suku ganjilnya :
Sganjil = U1 + U3 + U5 + …
Sganjil = a + ar2 + ar4 + …
Perhatikan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya membentuk deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku ganjilnya adalah $$\begin{align}
\mathrm{S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Perbandingan Sgenap dengan Sganjil :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=\frac{ar/(1-r^{2})}{a/(1-r^{2})}=r}
\end{align}\)
Jadi, \(\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r}
\end{align}\)
Latihan 7
Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan jumlah 6. Apabila jumlah suku-suku genapnya sama dengan 2, tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut!
Jawab :
Diketahui : S = 6 dan Sgenap = 2
S = Sgenap + Sganjil , akibatnya
Sganjil = S – Sgenap = 6 – 2 = 4
\(\begin{align}
\mathrm{r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\end{align}\)
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow 6&=\frac{\mathrm{a}}{1-1/2} \\
\mathrm{a}&=6(1-1/2)=3
\end{align}\)
Jadi, suku pertama dan rasio deret tersebut adalah
a = 3 dan r = 1/2
Latihan 8
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dari permukaan tanah. Apabila bola tersebut selalu memantul 2/3 kali dari ketinggian sebelumnya, tentukan panjang lintasan bola mulai dijatuhkan sampai berhenti..
Jawab :
Panjang lintasan (PL) bola yang dijatuhkan dari ketinggian a, dengan rasio pantulan r, dapat dihitung dengan menggunakan rumus
PL = 2S – a
Dari soal diketahui a = 10 dan r = 2/3
\(\begin{align}
\mathrm{PL}&=\mathrm{2S-a} \\
&=\mathrm{2\left ( \frac{a}{1-r} \right )-a} \\
&=2\left ( \frac{10}{1-\frac{2}{3}} \right )-10 \\
&=2(30)-10 \\
&=50
\end{align}\)
Jadi, panjang lintasan bola saat dijatuhkan hingga bola berhenti adalah 50 m.
Latihan 9
Dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, tunjukkan bahwa 0,999… = 1
Jawab :
Misalkan S = 0,999…
Dapat kita tulis, S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + …
Penjumlahan diatas membentuk deret geometri dengan a = 0,9 dan r = 0,1
sehingga jumlah tak hingganya adalah
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=1}
\end{align}\)
Kita simpulkan, S = 0,999… = 1
Latihan 10
Dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, nyatakan bentuk desimal berulang 1,272727… ke dalam bentuk bilangan rasional (pecahan).
Jawab :
Misalkan S = 1,272727…
Dapat kita tulis,
S =1 + (0,27 + 0,0027 + 0,000027 + …)
Penjumlahan diatas (dalam tanda kurung) membentuk deret geometri dengan
a = 0,27 dan r = 0,01
sehingga jumlah tak hingganya adalah
\(\begin{align}
\mathrm{S=1+\left (\frac{0,27}{1-0,01} \right )=1+\frac{0,27}{0,99}=1+\frac{3}{11}=\frac{14}{11}}
\end{align}\)
Jadi, 1,272727… = \(\frac{14}{11}\)