Belajar Analisis Dimensi Pada Ilmu Fisika

Dimensi merupakan cara penulisan suatu nilai besaran dengan menggunakan simbol satuan besaran pokok. Hal ini menunjukkan bahwa dimensi memberikan bagaimana cara besaran dapat tersusun dari beberapa besaran-besaran pokok.

Apa pun jenis satuan besaran yang digunakan, maka tidak akan mempengaruhi dimensi besaran tersebut, misalnya satuan panjang dapat dinyatakan dalam ft(feet), m, cm, atau km, keempat satuan itu mempunyai dimensi yang sama, yaitu L.

Sedangkan, analisis dimensi adalah teknik matematika yang digunakan sebagai alat bantu dalam menyelesaikan beberapa permasalahan teknik. Setiap fenomena fisik yang dapat dinyatakan dalam persamaan, yang tersusun dari variabel-variabel baik berdimensi maupun tak berdimensi.

Analisis Dimensi

Analisis dimensi membantu menentukan susunan secara sistematis variabel-variabel dalam hubungan fisik dan kombinasi variabel berdimensi menjadi parameter tak berdimensi.

Pada pemodelan hidro lik khususnya, banyak variabel dependent dan independent yang kadang susah penetapannya, dan susah pula menentukan korelasinya. Dengan menggunakan analisis dimensi, akan memudah kan mencari dan menentukan korelasi antar variabel yang dikehendaki.

Analisis dimensi baik digunakan pada penentuan korelasi antar variabel pada uji model hidrolik, sepanjang penggunaan data variabel akurat.

Kita telah mengetahui bahwa hampir seluruh besaran yang terdapat dalam fisika selalu dapat dinyatakan ke dalam tujuh besaran pokok.

Ketujuh besaran pokok tersebut memiliki dimensi masing-masing adalah L untuk panjang, M untuk massa, T untuk waktu, Θ untuk temperatur, I untuk kuat arus listrik, J untuk intensitas cahaya, dan N untuk jumlah zat.

Dengan ketujuh dimensi dasar ini maka dimensi sembarang besaran dapat ditelusuri. Untuk dapat mengetahui dimensi suatu besaran turunan maka kita harus terlebih dahulu mengetahui formulasi dan satuan besaran fisika tersebut.

Jenis satuan untuk suatu besaran fisika disebut dimensi, sedangkan bagaimana cara untuk menentukan jenis satuan dari suatu besaran turunan dinamakan analisis dimensional.

Jadi, melalui suatu analisis dimensional kita dapat menentukan jenis satuan dari suatu besaran turunan. Sebaliknya, jika jenis satuan suatu besaran fisika sudah diketahui maka kita dapat menentukan jenis besarannya.

Contoh:

Tentukanlah dimensi dari:

1. Percepatan.
2. Gaya.
3. Momentum.
4. Daya listrik.

Penyelesaian:

1. Dimensi dari percepatan:

[a] = Δv/Δt = (m/s)/s = m/s²= L/T² = LT-²

2. Dimensi dari gaya:

[F] = m×a = kg × (m/s²) = M × (L/T²) = MLT-²

3. Dimensi dari momentum:

[p] = m×∨ = kg × (m/s) = M × (L/T) = MLT-¹

4. Dimensi dari daya listrik:

[P] = W/t = (F×s)/t = (MLT–² × L)/T = ML²T-³

Melalui analisis dimensional dapat juga kita memeriksa kesahihan suatu formulasi yang menyatakan hubungan antara beberapa besaran. Oleh karena itu, dua buah besaran dapat dijumlahkan jika dimensinya sama.

Demikian juga sebuah persamaan dalam fisika harus mempunyai dimensi yang sama pada kedua ruas persamaan, yaitu ruas kiri harus sama dimensinya dengan ruas kanan. Jadi, tidak masalah sistem satuan apapun yang digunakan dalam persamaan, asalkan hubungan matematis antar besaran-besaran terkait sudah benar secara dimensi.

Oleh karena persamaan-persamaan yang digunakan dalam fisika harus benar secara dimensi maka dengan demikian analisis dimensi dapat digunakan untuk menguji apakah sebuah persamaan sudah benar, dan untuk memprediksi rumus suatu besaran fisika tertentu yang belum diketahui.

Contoh:

Buktikan bahwa persamaan berikut adalah benar melalui analisis dimensi!

v_t = v₀ + at

dengan v_t adalah kecepatan akhir, v₀ adalah kecepatan awal, a adalah percepatan, dan t adalah waktu.

Penyelesaian:

[v_t] = [v₀] + [a][t]

m/s = m/s +m/s² ×s

LT-¹ = LT-¹ + LT-²×T

LT-¹ = LT-¹ + LT-¹ = 2 LT-¹

Kita lihat bahwa hanya berbeda faktor 2 maka dimensi kedua ruas adalah sama, yaitu LT-¹. Kegunaan analisis dimensi juga dapat untuk memprediksi rumus tertentu, yang memberikan hubungan antarbesaran-besaran fisika.

Pada dasarnya, sembarang besaran turunan (SI) Q misalnya, dapat dinyatakan dalam besaran-besaran yang lain.

Q ~ α^a β^b γ^c L

dengan a,b,c,… adalah bilangan-bilangan yang disebut eksponen dimensi yang harus ditentukan, dan α, β, γ, LK adalah besaran-besaran fisika lain yang ingin diasumsikan memberi kontribusi pada Q.

Untuk dapat menentukan harga a, b, c, … kita perlu menyamakan dimensi antara kedua ruas persamaan pada ruas kiri dan ruas kanan.

Untuk menentukan nilai suatu besaran fisika yang memiliki hubungan dengan besaran fisika lainnya yang telah diketahui harganya maka kita harus terlebih dahulu mengetahui bentuk relasinya.

Bentuk relasi persamaan tersebut biasa dinyatakan dengan suatu perumusan tertentu, baik berupa operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian maupun dengan operasi pemangkatan.

Latihan Soal Analisis Dimensi

Guna memperdalam pemahaman kalian mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

1. Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan 72 km/h. Nyatakan kelajuan mobil tersebut dalam m/s!
2. Pintu sebuah jendela rumah akan dibuat dengan ketinggian 25,4 inci. Nyatakan ketinggian jendela dalam satuan cm dan m!
3. Kecepatan cahaya dalam vakum adalah 300.000 km/s. Nyatakanlah besaran tersebut dalam besaran dan satuan yang sesuai!
4. Tentukan satuan dan dimensi dari momentum sudut!
5. Dengan menggunakan analisis dimensi, tentukanlah rumus vibrasi sebuah benda dengan frekuensi vibrasi f dan massa m yang diikat oleh sebuah pegas dengan tetapan pegas k!

Petunjuk Jawaban Latihan

1. Dalam hal ini, satuan km/jam akan dikonversi ke dalam satuan yang diinginkan, yaitu km ke dalam m dan jam ke dalam sekon.
   

2. Ketinggian jendela apabila dinyatakan dalam satuan cm dan m, yaitu:
   23,62 inci = 23,62 × 2,54 cm = 60 cm = 60 × 10-2 m = 0,6 m
3. Kecepatan cahaya dalam vakum adalah: 300.000 km/s = 300.000.000 m/s = 3 ´ 10⁸ m/s.
4. Momentum sudut L adalah merupakan perkalian antara jarak dengan momentum:
   

   Satuan dari L = m . kg m/s = kg m²/s Dimensinya momentum sudut adalah [L] = M L²T-¹.

5. Frekuensi vibrasi adalah banyaknya gerakan bolak-balik yang terjadi dalam waktu satu sekon. Jadi, dimensinya adalah seperdetik [f] = T-1. Sedangkan konstanta pegas k mempunyai dimensi [k] = MT-2. Jika diasumsikan bahwa hubungan persamaan tersebut adalah f ∝ m^a k^b. maka analisis dimensi untuk persamaan tersebut adalah sebagai berikut. [f ] = [m ]^a [k ]^b atau T-¹ = M^a M^bT-^2b =M^a+bT-^2b.
   Bandingkan kedua ruas sehingga diperoleh hubungan berikut ini. M⁰ = M^a+b atau a + b = 0 , T^-1 = T^-2b atau -1 = – 2b atau b = ½ apabila b = ½ maka a = – ½ .
   

   Jadi, di mana c adalah konstanta kesebandingan yang dapat ditentukan melalui eksperimen.