Deret Geometri Mata Pelajaran Matematika

Jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri disebut deret geometri. Deret geometri disebut juga dengan deret ukur. Secara umum, deret geometri dinyatakan dalam bentuk

dimana, a adalah suku pertama dan r adalah rasio deret tersebut.

Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Geometri

Jumlah n suku pertama dari barisan geometri dinotasikan dengan Sn, dan dapat dinyatakan dalam persamaan

Jika kedua ruas persamaan diatas kita kalikan dengan r, akan diperoleh persamaan

Jika kita perhatikan, ruas kanan dari kedua persamaan diatas memuat penjumlahan berurutan suku-suku mulai dari ar sampai ar^n-1.

Hal ini membimbing kita untuk melakukan proses eliminasi, dengan tujuan untuk mendapatkan persamaan yang lebih sederhana.

Sn  = a + ar + ar² + ar³ + … + ar^n-2 + ar^n-1
rSn = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … + ar^n-1 + arⁿ   _
————————————————
Sn – rSn = a – arⁿ
Sn (1 – r) = a (1 – rⁿ)
Sn = a (1 – rⁿ) / (1 – r)

dengan
a = suku pertama
r = rasio
Sn = jumlah n suku pertama

Contoh 1
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan geometri berikut!
3 , 6 , 12 , 24 , …

Jawab :
Dari barisan diatas, kita peroleh
a = 3
r = 6/3 = 2

\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\;\;\Rightarrow\;\; S_{7}=\frac{3(1-2^{7})}{1-2}=381}
\end{align}\)

Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 381

Contoh 2
Jumlah 4 suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 15/4. Jika rasio barisan tersebut adalah 1/2, maka suku pertamanya adalah …

Jawab :
Diketahui : S4 = 15/4  dan  r = 1/2

\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\;\;\Rightarrow\;\; S_{4}}&=\mathrm{\frac{a(1-(1/2)^{4})}{1-1/2}} \\
\frac{15}{4}&= \frac{\mathrm{a}(1-1/16)}{1/2} \\
\frac{15}{8}&= \mathrm{a}\left ( \frac{15}{16} \right ) \\
\mathrm{a}&=\frac{15}{8}\cdot \frac{16}{15} \\
\mathrm{a}&= 2
\end{align}\)

Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah 2.

Misalkan U1 , U2 , U3 , … , Un-1 , Un adalah suku-suku suatu barisan geometri. Akibatnya,

Sn   = U1 + U2 + U3 + … + Un-1 + Un
Sn-1 = U1 + U2 + U3 + … + Un-1            _
—————————————–
Sn – Sn-1 = Un

Seperti halnya deret aritmatika, pada deret geometri juga berlaku hubungan
Un = Sn – Sn-1

Contoh 3
Jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri dinyatakan dengan rumus Sn = 3(2ⁿ – 1). Tentukan suku keempat dari barisan tersebut! 

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas, maka
U4 = S4 – S3

Karena Sn = 3(2ⁿ – 1), maka
S4 = 3(2⁴ – 1) = 45
S3 = 3(2³ – 1) = 21

Jadi, U4 = 45 – 21 = 24

Soal Latihan Deret Geometri Beserta Pembahasan

Latihan 1
Jika suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah Un = 3.2ⁿ⁺¹ , tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan tersebut!

Jawab :
Un = 3.2ⁿ⁺¹  maka
U1 = 3.2¹⁺¹ = 12
U2 = 3.2²⁺¹ = 24

Diperoleh a = 12  dan  r = 24/12 = 2

Jumlah 6 suku pertamanya :
\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}}&=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Rightarrow \;\;\mathrm{S_{6}}=\frac{12(1-2^{6})}{1-2}=756
\end{align}\)

Latihan 2
Jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri dirumuskan Sn = 4(1 – 2ⁿ) . Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri tersebut!

Jawab :
Sn = 4(1 – 2ⁿ) , maka
S1 = 4(1 – 2¹) = -4
S2 = 4(1 – 2²) = -12

Berdasarkan sifat  Un = Sn – Sn-1, maka
U1 = S1 = -4
U2 = S2 – S1 = -12 – (-4) = -8

Diperoleh a = -4  dan  r = (-8)/(-4) = 2

Jadi, suku pertamanya -4 dan rasio 2.

Latihan 3
Hitung deret geometri berikut!
2 – 4 + 8 – 16 + … + 512

Jawab :
Diketahui :
a = 2
r = -4/2 = -2
Un = 512

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
Un = ar^n-1
512 = 2 (-2)^n-1
256 = (-2)^n-1
(-2)⁸ = (-2)^n-1

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n – 1 = 8   ⇔   n = 9

Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah
\(\begin{align}
\mathrm{S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\mathrm{S_{9}}&=\frac{2\left [1-(-2)^{9}  \right ]}{1-(-2)} \\
& = \frac{2\left [ 513 \right ]}{3} \\
& = 342
\end{align}\)

Latihan 4
Diketahui persamaan 3 + 6 + 12 + … + x = 765. Jika ruas kiri merepresentasikan deret geometri, maka nilai x adalah …

Jawab :
Diketahui :
a = 3
r = 6/3 = 2
Un = x
Sn = 765

Untuk menentukan nilai x, terlebih dahulu kita harus mencari nilai n.
\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}}&=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}} \\
765&= \frac{3(1-2^{\mathrm{n}})}{1-2} \\
-765&=3(1-2^{\mathrm{n}}) \\
-255&=1-2^{\mathrm{n}} \\
2^{\mathrm{n}}&= 256 \\
\mathrm{n}& = 8
\end{align}\)

Karena n = 8, berarti x adalah suku ke-8.
x = U8
x = ar⁷ 
x = 3 . 2⁷ 
x = 384

Latihan 5
Jumlah suku pertama dengan suku ketujuh dari suatu barisan geometri adalah 65, sedangkan hasil kali suku ketiga dengan suku kelimanya adalah 64. Tentukan jumlah 5 suku pertama barisan tersebut, jika disyaratkan r < 1.

Jawab :
Jumlah suku pertama dengan suku ketujuh adalah 65, kita tulis :
     U1 + U7 = 65
     a + ar⁶ = 65
     ar⁶ = 65 – a   ………………………………(*)

Hasil kali suku ketiga dengan suku kelima adalah 64, kita tulis :
     U3 . U5 = 64
     ar². ar⁴ = 64
     a . ar⁶ = 64
     a . (65 – a) = 64
     65a – a² – 64 = 0
     a² – 65a + 64 = 0
     (a – 1)(a – 64) = 0
     a = 1  atau  a = 64

Substitusi nilai a  ke persamaan (*) :
Untuk  a = 1     →   r = 2
Untuk  a = 64   →   r = 1/2

Karena r < 1, maka yang memenuhi adalah
a = 64  dan  r = 1/2

Jadi, jumlah 5 suku pertamanya :
\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}}=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Rightarrow \;\;\mathrm{S_{5}}&=\frac{64\left [1-(1/2)^{5} \right ]}{1-1/2} \\
& = \frac{64\left [ 1-1/32 \right ]}{1/2} \\
& = 128\left [ \frac{31}{32} \right ] \\
& = 124
\end{align}\)