Pembahasan Soal Transformasi Mata Pelajaran Matematika

Pembahasan soal ujian nasional matematika IPA untuk pokok bahasan transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi.
Misalkan (x’, y’) adalah bayangan titik (x, y) oleh suatu transformasi.
Translasi (a, b)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\mathrm{a}\\\mathrm{b }
\end{bmatrix}\)
Pencerminan terhadap garis x = a
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{2a-x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap garis y = b
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{2b-y}
\end{bmatrix}\)
Pencerminan terhadap sumbu-x
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)

Pencerminan terhadap sumbu-y
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
Pencerminan terhadap O(0, 0)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
Pencerminan terhadap garis y = x
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
Pencerminan terhadap garis y = -x
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
Rotasi dengan pusat O dan sudut putaran θ
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\,\theta & \mathrm{-sin}\,\theta\\
\mathrm{sin}\,\theta & \mathrm{cos}\,\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
Jika rotasi berlawanan arah jarum jam, maka θ positif dan jika rotasi searah jarum jam maka θ negatif.
Dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
\mathrm{k} & 0\\
0 & \mathrm{k}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
Misalkan \(\mathrm{T_{1}}=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\) dan \(\mathrm{T_{2}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\) adalah matriks-matriks yang bersesuaian dengan suatu transformasi. Jika transformasi T adalah komposisi dari transformasi T₁ dan dilanjutkan transformasi T₂ atau ditulis T₂ o T₁ , maka matriks yang bersesuaian dengan transformasi T adalah :
\(\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\)

UN 2016
Persamaan bayangan kurva y = 3x² + 2x − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah …
A.  y = −3x² − 2x − 1
B.  y = −3x² + 2x + 1
C.  y = −3x² + 2x − 1
D.  y = 3x² + 2x + 1
E.  y = 3x² − 2x + 1

Pembahasan :
Misalkan :
T₁ = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu X.
T₂ = matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Y.
T = T₂ o T₁
\(\mathrm{T_{1}}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)  dan  \(\mathrm{T_{2}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)
\(\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)
Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T adalah :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
\mathrm{-x}\\ \mathrm{-y}
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x’ = -x  ↔  x = -x’
y’ = -y  ↔  y = -y’
Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
y = 3x² + 2x − 1
⇒  (-y’) = 3(-x’)² + 2(-x’) − 1
⇔  -y’ = 3(x’)² − 2x’ − 1
⇔  y’ = −3(x’)² + 2x’ + 1
Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :
y = −3x² + 2x + 1
Jawaban : B
UN 2015
Transformasi T adalah komposisi dari pencerminan terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi dengan pusat O(0, 0) sebesar 90° dengan arah berlawanan arah putar jarum jam. Bayangan dari garis 3x + 5y − 2 = 0 oleh transformasi T mempunyai persamaan …
A.  3x − 5y − 2 = 0
B.  3x + 5y + 2 = 0
C.  3x − 5y + 2 = 0
D.  5x − 3y + 2 = 0
E.  5x − 3y − 2 = 0
Pembahasan :
\(\mathrm{T_{1}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)
\(\mathrm{T_{2}}=\begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\,90^{\circ} & \mathrm{-sin}\,90^{\circ}\\
\mathrm{sin}\,90^{\circ} & \mathrm{cos}\,90^{\circ}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)
\(\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)
Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{-x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x’ = -x  ↔  x = -x’
y’ = y  ↔  y = y’
Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
3x + 5y − 2 = 0
⇒  3(-x’) + 5(y’) − 2 = 0
⇔  -3x’ + 5y’ − 2 = 0
⇔  3x’ − 5y’ + 2 = 0
Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :
3x − 5y + 2 = 0

Jawaban : C
UN 2014
Persamaan bayangan lingkaran x² + y² = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan dengan translasi \(\begin{bmatrix}
-3\\ 4
\end{bmatrix}\) adalah …
A.  x² + y² − 2x − 8y + 13 = 0
B.  x² + y² + 2x − 8y + 13 = 0
C.  x² + y² − 2x + 8y + 13 = 0
D.  x² + y² + 2x + 8y + 13 = 0
E.  x² + y² + 8x − 2y + 13 = 0
Pembahasan :
Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan transalasi (-3, 4) adalah :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\cdot 2-\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
-3\\ 4
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1-\mathrm{x}\\ \mathrm{y}+4
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matrik diatas, diperoleh :
x’ = 1 − x  ↔  x = 1 − x’
y’ = y + 4  ↔  y = y’ − 4
Substitusi x dan y ke persamaan lingkaran :
x² + y² = 4
⇒  (1 − x’)² + (y’ − 4)² = 4
⇔  1 − 2x’ + (x’)² + (y’)² − 8y’ + 16 = 4
⇔  (x’)² + (y’)² − 2x’ − 8y’ + 13 = 0
Jadi, persamaan bayangan lingkaran adalah :
x² + y² − 2x − 8y + 13 = 0
Jawaban : A
UN 2013
Diketahui titik A(3, -2) dipetakan oleh translasi T = \(\begin{bmatrix}
1\\ -2
\end{bmatrix}\), kemudian dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90°. Koordinat titik hasil peta A adalah …
A.  (4, 4)
B.  (-4, 4)
C.  (4, -4)
D.  (0, -3)
E.  (-3, 0)
Pembahasan :
Bayangan titik A(3, -2) oleh translasi \(\begin{bmatrix}
1\\ -2
\end{bmatrix}\) adalah
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
1\\ -2
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4\\ -4
\end{bmatrix}\)
dilanjutkan rotasi dengan pusat O sejauh 90° :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x”}\\ \mathrm{y” }
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
\mathrm{cos}\,90^{\circ} & \mathrm{-sin}\,90^{\circ}\\
\mathrm{sin}\,90^{\circ} & \mathrm{cos}\,90^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x”}\\ \mathrm{y” }
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
4\\ -4
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x”}\\ \mathrm{y” }
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
4\\ 4
\end{bmatrix}\)
Jadi, koordinat titik hasil peta adalah (4, 4)
Jawaban : A
UN 2013
Diketahui M adalah pencerminan terhadap garis \(\mathrm{y = -x}\) dan T adalah transformasi yang nyatakan oleh matriks \(\begin{bmatrix}
2 & 3\\
0 & -1
\end{bmatrix}\). Koordinat bayangan titik A(2, -8) jika ditransformasikan oleh M dan dilanjutkan oleh T adalah …
A.  (-10, 2)
B.  (-2, -10)
C.  (10, 2)
D.  (-10, -2)
E.  (2, 10)
Pembahasan :
\(\mathrm{M}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\)
\(\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
2 & 3\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)
Bayangan titik A(2, -8) oleh transformasi M dan dilanjutkan T adalah :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
2 & 3\\
 0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{2}\\ \mathrm{-8}
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-3 & -2\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{2}\\ \mathrm{-8}
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
10\\ 2
\end{bmatrix}\)
Jadi, bayangan titik A adalah : (10, 2)
Jawaban : C
UN 2012
Bayangan kurva y = x² + 3x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 adalah …
A.  x² + 9x − 3y + 27 = 0
B.  x² + 9x + 3y + 27 = 0
C.  3x² + 9x − y + 27 = 0
D.  3x² + 9x + y + 27 = 0
E.  3x² + 9x + 27 = 0

Pembahasan :
\(\mathrm{T_{1}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}}\)  dan  \(\mathrm{T_{2}=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & 3
\end{bmatrix}}\)
\(\mathrm{T=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & 3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & -3
\end{bmatrix}\)
Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T :
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & -3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
\mathrm{x’}\\ \mathrm{y’}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{3x}\\ \mathrm{-3y}
\end{bmatrix}\)
Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x’ = 3x  ↔  x = \(\frac{1}{3}\)x’
y’ = -3y  ↔  y = \(-\frac{1}{3}\)y’
Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
y = x² + 3x + 3
⇒  (\(-\frac{1}{3}\)y’) = (\(\frac{1}{3}\)x’)² + 3(\(\frac{1}{3}\)x’) + 3
⇔  \(-\frac{1}{3}\)y’ = \(\frac{1}{9}\)(x’)² + x’ + 3   (kali 9)
⇔  -3y’ = (x’)² + 9x’ + 27 = 0
⇔  (x’)² + 9x’ + 3y’ + 27 = 0
Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :
x² + 9x + 3y + 27 = 0

Jawaban : B

UN 2009
Diketahui \(\mathrm{T_{1}}=\begin{bmatrix}
a\\ 2
\end{bmatrix}\) dan \(\mathrm{T_{2}}=\begin{bmatrix}
3\\ b
\end{bmatrix}\). Titik A’ dan B’ berturut-turut adalah bayangan titik-titik A dan B oleh komposisi transformasi T₁ o T₂. Jika A(-1, 2), A'(1, 11) dan B'(12, 13), maka koordinat titik B adalah …
A.  (9, 4)
B.  (10, 4)
C.  (14, 4)
D.  (10, -4)
E.  (14, -4)
Pembahasan :
\(\mathrm{T_{1}\,o\,T_{2}}=\begin{bmatrix}
3\\ \mathrm{b}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\mathrm{a}\\ 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3+\mathrm{a}\\ \mathrm{b}+2
\end{bmatrix}\)
Untuk titik A :
\(\begin{bmatrix}
1\\ 11
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1\\ 2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
3+\mathrm{a}\\ 2+\mathrm{b}
\end{bmatrix}\)
Diperoleh :
1 = 2 + a  ↔  a = -1
11 = 4 + b  ↔  b = 7
Untuk titik B :
\(\begin{bmatrix}
12\\ 13
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
3+(-1)\\ 2+7
\end{bmatrix}\)
Diperoleh :
12 = x + 2  ↔ x = 10
13 = y + 9  ↔ y = 4
Jadi, koordinat titik B adalah (10, 4)
Jawaban : B

UN 2009
Titik A'(3, 4) dan B'(1, 6) merupakan bayangan titik A(2, 3) dan B(-4, 1) oleh transformasi \(\mathrm{T_{1}=\begin{bmatrix}
\mathrm{a} & \mathrm{b}\\
0 & 1
\end{bmatrix}}\) yang diteruskan \(\mathrm{T_{2}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}}\). Bila koordinat peta titik C oleh transformasi T₂ o T₁ adalah C'(-5, -6), maka koordinat titik C adalah …
A.  (4, 5)
B.  (4, -5)
C.  (-4, -5)
D.  (-5, 4)
E.  (5, 4)
Pembahasan :
\(\mathrm{T_{2}\,o\,T_{1}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{a} & \mathrm{b}\\
0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
\mathrm{-a} & \mathrm{-b+1}
\end{bmatrix}\)
Untuk titik A :
\(\begin{bmatrix}
3\\ 4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
\mathrm{-a} & \mathrm{-b+1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 3
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
3\\ 4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ \mathrm{-2a-3b+3}
\end{bmatrix}\)
Diperoleh persamaan :
4 = −2a −3b + 3  ⇔  2a + 3b = −1  ……..(1)
Untuk titik B :
\(\begin{bmatrix}
1\\ 6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
\mathrm{-a} & \mathrm{-b+1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 1
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
1\\ 6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1\\ \mathrm{4a-b+1}
\end{bmatrix}\)
Diperoleh persamaan :
6 = 4a − b + 1  ⇔  4a − b = 5  ……….(2)
Eliminasi (1) dan (2) diperoleh :
a = 1
b = -1
Sehingga :
\(\mathrm{T_{2}\,o\,T_{1}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
\mathrm{-a} & \mathrm{-b+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 2
\end{bmatrix}\)
Untuk titik C :
\(\begin{bmatrix}
-5\\ -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathrm{x}\\ \mathrm{y}
\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}
-5\\ -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathrm{y}\\ \mathrm{-x+2y}
\end{bmatrix}\)
Diperoleh :
y = -5
-x + 2y = -6
-x + 2(-5) = -6
⇒ x = -4
Jadi, koordinat titik C adalah (-4, -5)
Jawaban : C