Grafik Fungsi Kuadrat Dalam Pelajaran Matematika

Bentuk umum fungsi kuadrat : $$\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}$$ dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

Jika digambarkan pada bidang koordinat, maka grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari nilai a, b dan c fungsi kuadrat tersebut.

Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat y = f(x)

1. Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya merupakan titik balik minimum.
2. Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya merupakan titik balik maksimum. 

Hubungan nilai diskriminan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-x :

1. D > 0 : Parabola memotong sumbu-x di dua titik.
2. D = 0 : Parabola menyinggung sumbu-x
3. D < 0 : Parabola tidak memotong sumbu-x

dengan : D = b² − 4ac

Posisi titik puncak grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-y :

1. ab > 0 : Titik puncak berada disebelah kiri sumbu-y
2. b = 0 : Titik puncak berada pada sumbu-y
3. ab < 0 : Titik puncak berada disebelah kanan sumbu-y

1. c > 0 : Parabola memotong sumbu y positif
2. c = 0 : Parabola memotong sumbu y di titik (0,0)
3. c < 0 : Parabola memotong sumbu-y negatif

Contoh 1
Jika grafik \(\mathrm{f(x)=x^{2}+(m+3)x+2m+3}\) memotong sumbu-x di dua titik, maka batas-batas nilai m yang memenuhi adalah…

Jawab :
a = 1
b = m + 3
c = 2m + 3

Grafik memotong sumbu-x di dua titik, maka :
D > 0
b² − 4ac > 0
(m + 3)² − 4 . 1 (2m + 3) > 0
m² + 6m + 9 − 8m −12 > 0
m² − 2m − 3 > 0

Pembuat nol :
m² − 2m − 3 = 0
(m + 1)(m − 3) = 0
m = −1 atau m = 3

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
m < −1 atau m > 3

Contoh 2
Jika grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}\) menyinggung garis \(\mathrm{y=px+q}\), tunjukkan bahwa (b − p)² − 4a(c − q) = 0

Jawab :
Jika parabola menyinggung garis, maka diskriminan persamaan kuadrat gabungannya akan bernilai nol.
ax² + bx + c = px + q
ax² + bx − px + c − q = 0
ax² + (b − p)x + c − q = 0

a = a
b = b − p
c = c − q

D = 0
b² − 4ac = 0
(b − p)² − 4a(c − q) = 0

Contoh 3
Grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=2x^{2}+kx+3}\) menyinggung garis \(\mathrm{y=2x+1}\). Untuk k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah…

Jawab :
Cara I
2x² + kx + 3 = 2x + 1

(k − 2)² − 4 . 2 . 2 = 0
k² − 4k + 4 − 16 = 0
k² − 4k − 12 = 0
(k + 2)(k − 6 ) = 0
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.

Cara II
f(x) = 2x² + kx + 3
a = 2 ; b = k ; c = 3

y = 2x + 1
p = 2 ; q = 1

(b − p)² − 4a(c − q) = 0
(k − 2)² − 4 . 2 (3 − 1) = 0
k² − 4k + 4 − 16 = 0
k² − 4k − 12 = 0
(k + 2)(k − 6 ) = 0
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.

Definit Positif dan Definit Negatif

Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\) dikatakan definit positif jika f(x) selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real.

Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0

Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\) dikatakan definit negatif jika f(x) selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real.

Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0

Ciri-ciri grafik fungsi definit negatif :

• Grafik tidak memotong sumbu-x
• Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di bawah sumbu-x.

Contoh 4
Jika fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=3x^{2}+px+12}\) definit positif, maka batas-batas nilai p yang memenuhi adalah…

Jawab :
a = 3
b = p
c = 12

Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
a > 0
3 > 0 (memenuhi)

D < 0
b² − 4ac < 0
p² − 4 . 3 . 12 < 0
p² − 144 < 0

Pembuat nol :
p² − 144 = 0
(p + 12)(p − 12) = 0
p = −12 atau p = 12

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
−12 < p < 12

Contoh 5
Fungsi \(\mathrm{f(x)=(m-3)x^{2}+2mx+m+2}\) akan menjadi fungsi definit negatif bila nilai m berada pada interval…

Jawab :
a = m − 3
b = 2m
c = m + 2

Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
a < 0
m − 3 < 0
m < 3 ……………………………..(1)

D < 0
b² − 4ac < 0
(2m)² − 4 (m − 3)(m + 2) < 0
4m² − 4(m² − m − 6) < 0
4m² − 4m² + 4m + 24 < 0
4m < −24
m < −6 …………………………….(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh irisan :
m < −6