Persamaan kuadrat adalah suatu bentuk persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Persamaan kuadrat dengan variabel x dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut : $$\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}$$ dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0
Penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan kuadrat tersebut bernilai benar.
Sebagai contoh, akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 4x + 3 = 0 adalah 1 atau 3, karena
(1)2 – 4(1) + 3 = 0 (benar)
(3)2 – 4(3) + 3 = 0 (benar)
Yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana mendapatkan akar-akar tersebut? Hal inilah yang akan kita bahas pada materi ini.
Secara umum ada 3 cara yang digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu :
- Memfaktorkan
- Melengkapkan kuadrat
- Rumus kuadrat
Memfaktorkan
p × q = c
Setelah difaktorkan, langkah selanjutnya adalah menyatakan faktor tersebut menjadi sama dengan nol $$\mathrm{x + p = 0\; atau\; x + q = 0}$$ Nilai-nilai x yang diperoleh dari persamaan diatas inilah yang kita sebut dengan akar-akar persamaan kuadrat.
Tentukan akar-akar dari x2 + 5x + 6 = 0
Jawab :
a = 1 ; b = 5 ; c = 6
p + q = 5
p × q = 6
Artinya, kita akan mencari dua buah bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5.
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan 2, karena 3 × 2 = 6 dan 3 + 2 = 5
Dengan demikian, faktornya adalah
(x + 3)(x + 2) = 0
dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = -3 atau x = -2
Contoh 2
Tentukan akar-akar dari x2 + 2x − 3 = 0
Jawab :
p + q = 2
p × q = -3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −1. Dengan demikian, faktornya adalah
(x + 3)(x − 1) = 0
dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x − 1 = 0
x = -3 atau x = 1
Jika contoh-contoh diatas telah dipahami dan dikuasai dengan baik, penyelesaian dari persamaan kuadrat dapat kita tulis lebih singkat seperti contoh berikut.
Contoh 3
Tentukan akar-akar dari x2 − 8x + 15 = 0
Jawab :
x2 − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0 (faktor)
x = 3 atau x = 5 (akar)
Faktor dari \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) dengan a > 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $$\mathrm{\frac{\left ( ax+p \right )\left ( ax+q \right )}{a}=0}$$ Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
p + q = b
p × q = ac
Tentukan akar-akar dari 2x2 + 5x − 3 = 0
Jawab :
a = 2 ; b = 5 ; c = −3
p + q = 5
p × q = 2 (−3) = −6
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 6 dan −1. Dengan demikian, faktornya adalah $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 2}x+6 \right )\left ( {\color{Green} 2}x -1 \right )}{{\color{Green} 2}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{2(x+3)\,(2x-1)}{2}=0}$$ $$\mathrm{(x+3)(2x-1)=0}$$
Contoh 5
Tentukan akar-akar dari 6x2 − x − 2 = 0
Jawab :
p + q = −1
p × q = −12
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −4.
Faktornya adalah $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 6}x+3 \right )\left ( {\color{Green} 6}x-4 \right )}{{\color{Green} 6}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{3(2x+1)\,2(3x-2)}{6}=0}$$ $$\mathrm{\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-2 \right )=0}$$
Akar-akarnya adalah $$\mathrm{2x+1=0\;atau\;3x-2=0}$$ $$\mathrm{x=-\frac{1}{2}\;atau\;x=\frac{2}{3}}$$
Melengkapkan Kuadrat
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat merupakan salah satu alternatif jika akar-akar persamaan kuadrat memuat bentuk akar (irasional) sehingga sulit untuk difaktorkan.
Melengkapkan kuadrat dilakukan dengan cara mengubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2.
Bentuk diatas dapat dijabarkan menjadi
(x + p)2 = x2 + 2px + p2
dengan a = 1 , b = 2p dan c = p2
Karena b = 2p, maka p = \(\mathrm{\frac{b} {2}}\). Akibatnya, persamaan diatas dapat kita tulis menjadi
(x + \(\mathrm{\frac{b} {2}}\))2 = x2 + bx + (\(\mathrm{\frac{b} {2}}\))2 (*)
Persamaan inilah yang nantinya kita jadikan acuan dalam mengubah bentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurna.
Untuk lebih jelasnya, simak contoh-contoh berikut!
Contoh 6
Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0
Penyelesaian :
Pindahkan konstanta c ke ruas kanan
x² + 4x = −1
Tambahkan kedua ruas dengan (\(\mathrm{\frac{b} {2}}\))2
x² + 4x + (\(\mathrm{\frac{4}{2}}\))2 = −1 + (\(\mathrm{\frac{4}{2}}\))2
x² + 4x + 4 = 3
Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan mengacu pada (*) sehingga diperoleh
(x + 2)2 = 3
Akarkan kedua ruas sehingga diperoleh
x + 2 = ±√3
x = -2 ±√3
Jadi, akar-akarnya adalah
x = −2 + √3 atau x = −2 − √3
Apabila a ≠ 1, langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi atau mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan sehingga diperoleh a = 1.
Contoh 7
Tentukan akar-akar dari 4x² + 4x − 7 = 0
Penyelesaian :
Bagi kedua ruas dengan 4
x² + x − \(\frac{7}{4}\) = 0
Pada tahap ini, langkah-langkahnya sama dengan contoh sebelumnya.
x² + x = \(\frac{7}{4}\)
x = −\(\frac{1}{2}\) ±√2
Jadi, akar-akarnya adalah
x = −\(\mathbf{\frac{1}{2}}\) + √2 atau x = −\(\mathbf{\frac{1}{2}}\) − √2
Contoh 8
Tentukan akar-akar dari \(-\frac{1}{2}\)x² + x + 1 = 0
Penyelesaian :
Kalikan kedua ruas dengan -2
x² − 2x − 2 = 0
x² − 2x = 2
x² − 2x + (\(\frac{-2}{2}\))2 = 2 + (\(\frac{-2}{2}\))2
x² − 2x + 1 = 3
x = 1 ±√3
Jadi, akar-akarnya adalah
x = 1 + √3 atau x = 1 − √3
Rumus Kuadrat
Contoh 9
Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0
Jawab :
a = 1
b = 4
c = 1
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4.1.1} }{2.1}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{12} }{2}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm2\sqrt{3} }{2}}\)
x1 = \(\mathrm{-2+\sqrt{3}}\)
x2 = \(\mathrm{-2-\sqrt{3}}\)
Contoh 10
Tentukan akar-akar dari x² − 5x − 104 = 0
Jawab :
a = 1
b = −5
c = −104
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4.1.(-104)} }{2.1}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{5\pm\sqrt{441} }{2}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{5\pm21 }{2}}\)
x1 = \(\mathrm{\frac{5+21 }{2}}\) = 13
x2 = \(\mathrm{\frac{5-21 }{2}}\) = −8
Materi menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan pada hampir semua materi matematika SMA, terutama metode pemfaktoran. Untuk itu sangat direkomendasikan untuk dipahami dan dikuasai dengan baik.