Pembahasan Soal UN Aplikasi Turunan Matematika

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi matematika IPA tentang Aplikasi Turunan dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan maksimum dan minimum.

1.  UN 2005

D.  3 m/detik
E.  5 m/detik

Pembahasan :
f(t) = \(\mathrm{\sqrt{3t+1}}\)
⇒ f ‘(t) = \(\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}}\)

v(t) = \(\mathrm{\frac{df}{dt}}\)
v(t) = f ‘(t) = \(\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}}\)

v(8) = \(\mathrm{\frac{3}{2\sqrt{3.8+1}}}\)
v(8) = \(\frac{3}{10}\)

4.  UN 2006
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi \(\mathrm{h(t)=100+40t-4t^{2}}\). Tinggi masksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah…
A.  160 m
B.  200 m
C.  340 m
D.  400 m
E.  800 m

Pembahasan :
h(t) = 100 + 40t − 4t²
⇒ h'(t) = 40 − 8t

Tinggi peluru akan maksimum, jika :
h'(t) = 0
40 − 8t = 0
⇒ t = 5

Jadi, tinggi maksimum peluru dicapai pada saat t = 5, dengan tinggi maksimumnya adalah
h(5) = 100 + 40(5) − 4(5)²
h(5) = 100 + 200 − 100
h(5) = 200

Jawaban : B

5.  UN 2006
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan  dalam x hari dengan biaya \(\mathrm{4x-160+\frac{2000}{x}}\) ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah…
A.  Rp 200.000,00
B.  Rp 400.000,00
C.  Rp 560.000,00
D.  Rp 600.000,00
E.  Rp 800.000,00

Pembahasan :
Biaya per hari : \(\mathrm{\left (4x-160+\frac{2000}{x}  \right )}\)

Biaya x hari :
B(x) = \(\mathrm{\left (4x-160+\frac{2000}{x}  \right )}\)x
B(x) = 4x² − 160x + 2000

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 160 = 0
⇒ x = 20

Jadi, biaya akan minimum jika pekerjaan diselesaikan dalam 20 hari, dengan biaya minimum per hari
= 4x − 160 + \(\mathrm{\frac{2000}{x}}\)
= 4(20) − 160 + \(\frac{2000}{20}\)
= 20  (ribuan rupiah)

Jawaban : –

6.  UN 2006
Luas permukaan balok dengan alas persegi adalah 150 cm². Agar diperoleh volume balok yang maksimum, panjang alas balok adalah…
A.  3 cm
B.  5 cm
C.  6 cm
D.  15 cm
E.  25 cm

Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi maka p = l

L = 150
2(pl + pt + lt) = 150
pl + pt + lt = 75
p² + pt + pt = 75  (p = l)
2pt = 75 − p²
t = \(\mathrm{\frac{75-p^{2}}{2p}}\)

V = p. l. t
V = p²t  (p = l)
V = p²\(\mathrm{\left (\frac{75-p^{2}}{2p}  \right )}\)
V = \(\frac{75}{2}\)p − \(\frac{1}{2}\)p³

Volume akan maksimum, jika :
V’ = 0
\(\frac{75}{2}\) − \(\frac{3}{2}\)p² = 0
75 − 3p² = 0
⇒ p = 5

Jadi, volume akan maksimum jika panjang balok 5 cm.

Jawaban : B

7.  UN 2007
Perhatikan gambar !

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah…
A.  (2, 5)
B.  (2, \(\frac{5}{2}\))
C.  (2, \(\frac{2}{5}\))
D.  (\(\frac{5}{2}\), 2)
E.  (\(\frac{2}{5}\), 2)

Pembahasan :
Cara I
Persamaan garis yang memotong sumbu-x di (4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 5) adalah :
5x + 4y = 5 . 4
5x + 4y = 20

4y = 20 − 5x
y = 5 − \(\frac{5}{4}\)x

L = x . y
L = x\(\mathrm{\left ( 5-\frac{5}{4}x \right )}\)
L = 5x − \(\frac{5}{4}\)x²

Luas akan maksimum, jika :
L’ = 0
5 − \(\frac{5}{2}\)x = 0
⇒ x = 2

5x + 4y = 20
5(2) + 4y = 20
⇒ y = \(\frac{5}{2}\)

M = (2, \(\frac{5}{2}\))

Cara II
Sebuah garis dengan
titik potong sumbu-x : (a, 0)
titik potong sumbu-y : (0, b)
M(x, y) terletak pada garis
|xy| akan maksimum jika M\(\mathrm{\left ( \frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \right )}\)

a = 4 dan b = 5
M\(\mathrm{\left ( \frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \right )}\)
M(2, \(\frac{5}{2}\))

Jawaban : B

8.  UN 2008
Sebuah kotak tanpa tutup dengan alasnya berbentuk persegi, mempunyai voleme 4 m² terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak berturut-turut adalah…
A.  2 m, 1 m, 2 m
B.  2 m, 2 m, 1 m
C.  1 m, 2 m, 2 m
D.  4 m, 1 m, 1 m
E.  1 m, 1 m, 4 m

Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi, maka p = l

Volume kotak :
V = p. l. t
V = p²t  (p = l)
4 = p²t
t = \(\mathrm{\frac{4}{p^{2}}}\)

Luas kotak tanpa tutup :
L = pl + 2pt + 2lt
L = p² + 2pt + 2pt  (p = l)
L = p² + 4pt
L = p² + 4p\(\mathrm{\left (\frac{4}{p^{2}}  \right )}\)
L = p² + \(\mathrm{\frac{16}{p}}\)

Luas akan maksimum jika :
L’ = 0
2p − \(\mathrm{\frac{16}{p^{2}}}\) = 0
2p = \(\mathrm{\frac{16}{p^{2}}}\)
p³ = 8
⇒ p = 2
⇒ l = 2

t = \(\mathrm{\frac{4}{p^{2}}}\) = \(\mathrm{\frac{4}{2^{2}}}\)
⇒ t = 1

Jadi, ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah 2 m, 2 m, 1 m.

Jawaban : B

9.  UN 2009
Jumlah bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum xy adalah…
A.  100
B.  81
C.  80
D.  70
E.  72

Pembahasan :
x + y = 18
y = 18 − x

Misalkan :
L = xy
L = x (18 − x)
L = 18x − x²

L akan maksimum jika :
L’ = 0
18 − 2x = 0
⇒ x = 9

x + y = 18
9 + y = 18
⇒ y = 9

Jadi, nilai maksimum xy = 9 . 9 = 81

Jawaban : B

10.  UN 2009
Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus \(\mathrm{f(t)=15t^{2}-t^{3}}\). Reaksi maksimum tercapai setelah…
A.  3 jam
B.  5 jam
C.  10 jam
D.  15 jam
E.  30 jam

Pembahasan :
Fungsi reaksi :
f(t) = 15t² − t³

Reaksi akan maksimum jika :
f ‘(t) = 0
30t − 3t² = 0
3t (10 − t) = 0
t = 0 atau t = 10

Jadi, reaksi maksimum tercapai setelah 10 jam.

Jawaban : C 

11.  UN 2010
Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume maksimum berturut-turut adalah…
A.  10 dm, 7 dm, 1 dm
B.  8 dm , 5 dm, 1 dm
C.  7 dm, 4 dm, 2 dm
D.  7 dm, 4 dm, 1 dm
E.  6 dm, 3 dm, 1 dm

Pembahasan :

Ukuran balok :

p = 8 − 2x
l = 5 − 2x
t = x

V = plt
V = (8 − 2x)(5 − 2x) x
V = (40 − 26x + 4x²) x
V = 4x³ − 26x² + 40x

Volume akan maksimum jika :
V’ = 0
12x² − 52x + 40 = 0
3x² − 13x + 10 = 0
(3x − 10)(x − 1) = 0
x = \(\frac{10}{3}\) atau x = 1

Untuk x = 1, maka
p = 8 − 2x = 8 − 2(1) = 6
l = 5 − 2x = 5 − 2(1) = 3
t = x = 1

Jadi, volume akan maksimum jika panjang, lebar dan tinggi balok berturut-turut 6 dm, 3 dm, 1 dm.

Jawaban : E

12.  UN 2011
Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar \(\mathrm{\left (9.000+1.000x+10x^{2}  \right )}\) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut adalah…
A.  Rp149.000,00
B.  Rp249.000,00
C.  Rp391.000,00
D.  Rp609.000,00
E.  Rp757.000,00

Pembahasan ;
Biaya produksi x produk : 9.000 + 1.000x + 10x²
Biaya penjualan x produk : 5.000x

Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi
L(x) = 5.000x − (9.000 + 1.000x + 10x²)
L(x) = 5.000x − 9.000 − 1.000x − 10x²
L(x) = −10x² + 4.000x − 9.000

Laba akan maksimum, jika :
L'(x) = 0
−20x + 4.000 = 0
⇒ x = 200

Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan laba maksimumnya adalah :
L(200) = −10(200)² + 4.000(200) − 9.000
L(200) = −400.000 + 800.000 − 9.000
L(200) = 391.000

Jawaban : C

13.  UN 2012
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya \(\mathrm{\left ( 5x^{2}-10x+30 \right )}\) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah…
A.  Rp10.000,00
B.  Rp20.000,00
C.  Rp30.000,00
D.  Rp40.000,00
E.  Rp50.000,00

Pembahasan :
Biaya produksi x unit : (5x² − 10x + 30)x
Biaya penjualan x unit : 50x
(kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah)

Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi
U(x) = 50x − (5x² − 10x + 30)x
U(x) = 50x − 5x³ + 10x² − 30x
U(x) = −5x³ + 10x² + 20x

Keuntungan akan maksimum jika :
U'(x) = 0
−15x² + 20x + 20 = 0 (bagi −5)
3x² − 4x − 4 = 0
(3x + 2)(x − 2) = 0
x = \(\frac{3}{2}\) atau x = 2

Jadi, keuntungan akan maksimum jika perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya adalah :
U(2) = −5(2)³ + 10(2)² + 20(2)

Jawaban : D

14.  UN 2013
Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling \(\mathrm{\left ( 2x+24 \right )}\) m dan lebar \(\mathrm{\left ( 8-x \right )}\). Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah…
A.  4 m
B.  8 m
C.  10 m
D.  12 m
E.  13 m

Pembahasan :
K = 2x + 24 = 2(x + 12)
l = 8 − x

K = 2(p + l)
2(x + 12) = 2(p + 8 − x)
x + 12 = p + 8 − x
p = 2x + 4

L = p . l
L = (2x + 4)(8 − x)
L = −2x² + 12x + 32

Luas akan maksimum jika :
L’ = 0
−4x + 12 = 0
⇒ x = 3

p = 2x + 4
p = 2(3) + 4
p = 10

Jadi, panjang taman agar luas maksimum adalah 10 m.

Jawaban : C

15.  UN 2013
Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari \(\mathrm{p=m^{2}+n^{2}}\) adalah…
A.  320
B.  295
C.  280
D.  260
E.  200

Pembahasan :
2m − n = 40
n = 2m − 40

p = m² + n²
p = m² + (2m − 40)²
p = m² + 4m² − 160m + 1600
p = 5m² − 160m + 1600

p akan minimum jika :
p’ = 0
10m − 160 = 0
⇒ m = 16

n = 2m − 40
n = 2(16) − 40
⇒ n = −8

p = m² + n²
p = 16² + (−8)²
p = 320

Jawaban : A

16.  UN 2015
Icha akan meniup balon karet  berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm²/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah…
A.  \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{\pi }}}\) cm
B.  \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}}\) cm
C.  \(\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{\pi }}}\) cm
D.  \(\mathrm{\frac{2}{3\sqrt{\pi }}}\) cm
E.  \(\pi\) cm

Pembahasan :
Laju pertambahan volume udara :
\(\mathrm{\frac{dV}{dt}}\) = 40

Laju pertambahan jari-jari bola :
\(\mathrm{\frac{dr}{dt}}\) = 20

Volume bola :
V = \(\frac{4}{3}\)πr³
\(\mathrm{\frac{dV}{dr}}\) = 4πr²

Dengan aturan rantai :
\(\mathrm{\frac{dV}{dt}}\) = \(\mathrm{\frac{dV}{dr}}\) × \(\mathrm{\frac{dr}{dt}}\)
40 = 4πr² × 20
1 = 2πr²

17.  UN 2016

Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?
A.  80.000 m²
B.  40.000 m²
C.  20.000 m²
D.  5.000 m²
E.  2.000 m²

Luas akan maksimum jika :
L’ = 0
200 − 4l = 0
⇒ l = 50

p = 200 − 2l
p = 200 − 2(50)
⇒ p = 100

L = p × l
L = 100 × 50
L = 5000

Jadi luas maksimum adalah 5000 m²

Jawaban : D


18.  UN 2017
Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat). Luas maksimum kandang adalah …
A.  360 m²
B.  400 m²
C.  420 m²
D.  450 m²
E.  480 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l.

Persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang :
p + 4l = 80   →  p = 80 – 4l

Persamaan luas kandang :
L = pl   
L = (80 – 4l)l   
L = 80l – 4l²

Turunan pertama L terhadap l :
L’ = 80 – 8l

Luas akan maksimum jika L’ = 0
80 – 8l = 0
80 = 8l
l = 10

Jadi, luas akan maksimum jika l = 10, dengan luas maksimumnya adalah
L = 80(10) – 4(10)²
L = 800 – 400
L = 400

Jawaban : B

19.  UN 2017
Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis dapat memuat air sebanyak 27π cm². Luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan …
A.  9 cm
B.  8 cm
C.  6 cm
D.  4 cm
E.  3 cm

Pembahasan :
Persamaan volume tabung :
V = πr² t
27π = πr² t
27 = r² t
t = \(\frac{27}{r^{2}}\)

L = πr² + 2πr(\(\frac{27}{r^{2}}\))
L = πr² + \(\frac{54 \pi}{r}\)

Turunan pertama L terhadap r :
L’ = 2πr – \(\frac{54 \pi}{r^{2}}\) 

Luas akan minimum jika L’ = 0
2πr – \(\frac{54 \pi}{r^{2}}\) = 0  (kali r²)
2πr³ – 54π = 0
2πr³ = 54π
r³ = 27
⇒  r = 3

Jawaban : E

20.  UN 2017
Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm², volume maksimum akuarium tersebut adalah …
A.  3.600 cm³
B.  5.400 cm³
C.  6.300 cm³
D.  7.200 cm³
E.  8.100 cm³

Pembahasan :
\(\frac{p}{l}\) = \(\frac{2}{3}\)→   p = \(\frac{2}{3}\)l

Persamaan luas akuarium tanpa tutup :
pl + 2pt + 2lt = 1.800
(\(\frac{2}{3}\)l)l + 2(\(\frac{2}{3}\)l)t + 2lt = 1.800  (kali 3)
2l² + 4lt + 6lt = 5400
2l² + 10lt = 5400
10lt = 5400 – 2l²
t = \(\frac{540}{l}\) – \(\frac{1}{5}\)l

Persamaan volume akuarium :
V = plt
V = \(\frac{2}{3}\)l . l . (\(\frac{540}{l}\) – \(\frac{1}{5}\)l)
V = 360l – \(\frac{2}{15}\)l³

Turunan pertama V terhadap l :
V’ = 360 – \(\frac{6}{15}\)l²

Volume akan maksimum jika V’ = 0
360 – \(\frac{6}{15}\)l² = 0
360 = \(\frac{6}{15}\)l²
l² = 900
l = 30

Jadi, volume maksimum aquarium adalah
V = 360(30) – \(\frac{2}{15}\)(30)³
V = 10.800 – 3.600
V = 7.200

Jawaban : D