Turunan Fungsi Aljabar Mata Pelajaran Matematika

Definisi Turunan

Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh
$$\mathrm{f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ dengan syarat limitnya ada.

Notasi Turunan

Turunan pertama fungsi y = f(x) terhadap x dapat dinotasikan sebagai :

• y’ = f ‘(x)  ⇒  Lagrange   
• \(\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}\)  ⇒  Leibniz   
• D_xy = D_x[f(x)]  ⇒  Euler   

Dari definisi diatas dapat diturunkan rumus-rumus turunan sebagai berikut :

1. f(x) = k  ⇒  f ‘(x) = 0
2. f(x) = k x  ⇒  f ‘(x) = k
3. f(x) = xⁿ ⇒ f ‘(x) = nx^n-1
4. f(x) = k u(x)  ⇒ f ‘(x) = k u'(x)
5. f(x) = u(x) ± v(x)  ⇒ f ‘(x) = u'(x) ± v'(x)

Untuk menentukan turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :

• \(\mathrm{x^{m}.\;x^{n}=x^{m+n}}\)
• \(\mathrm{\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}}\)
• \(\mathrm{\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}}\)
• \(\mathrm{\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\)
• \(\mathrm{\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{x^{m}}}=x^{\frac{m}{n}}}\)

Contoh 1
Tentukan turunan dari \(f(x)=x\sqrt{x}\)

Jawab :
\(\begin{align}
f(x) = x\sqrt{x} = x\cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
f(x) = x^{\frac{3}{2}}\;\;\rightarrow\;\; f'(x) & = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} \\
& =\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \\
& =\frac{3}{2}\sqrt{x}
\end{align}\)

Contoh 2
Tentukan turunan dari \(f(x)=\frac{6}{\sqrt[3]{x}}\)

Jawab :
\(\begin{align}
f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x}}= 6x^{-\frac{1}{3}} \\
\end{align}\)

\(\begin{align}
f(x) = 6x^{-\frac{1}{3}} \;\;\rightarrow\;\; f'(x)
& = 6\left ( -\frac{1}{3} \right )x^{-\frac{1}{3}-1} \\
& = -2\,x^{-\frac{4}{3}} \\
& = -\frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} \\
& = -\frac{2}{x\cdot x^{\frac{1}{3}}} \\
& = -\frac{2}{x\sqrt[3]{x}}
\end{align}\)

Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi

Misalkan \(\mathrm{y=uv}\), maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
$$\mathrm{y’=u’v+uv’}$$
Misalkan \(\mathrm{y=\frac{u}{v}}\), maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
$$\mathrm{y’=\frac{u’v-uv’}{v^2}}$$

Contoh 3
Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x² + 2) adalah

Jawab :
Misalkan :
u = 2x + 3 ⇒ u’ = 2
v = x² + 2 ⇒ v’ = 2x

f ‘(x) = u’ v + u v’
f ‘(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f ‘(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f ‘(x) = 6x² + 6x + 4

Contoh 4

Aturan Rantai

Contoh 5
Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)⁴

     Jawab :
     Misalkan :
     u(x) = 2x + 1  ⇒  u'(x) = 2
     n = 4
     f ‘(x) = n[u(x)]^n-1 . u'(x)
     f ‘(x) = 4(2x + 1)^4-1 . 2
     f ‘(x) = 8(2x + 1)³ 

     Jawab :
     y’ = 7(x² − 3x)^7-1 . (2x − 3)
     y’ = (14x − 21) . (x² − 3x)⁶

Latihan Soal Turunan Fungsi Aljabar

Latihan 1
Tentukan turunan dari \(\mathrm{y=2x^3-x^2+\frac{1}{2}x+4}\)

Jawab :
y = 2x³ − x² + \(\frac{1}{2}\)x + 4

y’ = 2. 3x^3-1 − 2x^2-1 + \(\frac{1}{2}\) + 0
y’ = 6x² − 2x + \(\frac{1}{2}\)

Latihan 2
Tentukan turunan dari \(\mathrm{f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}}\)

Jawab :
f(x) = x^-2 − 3x^-1

f ‘(x) = −2x^-2-1 − 3. (−1)x^-1-1
f ‘(x) = −2x^-3 + 3x^-2
f ‘(x) = \(\mathrm{-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}}\)

Latihan 3
Jika \(\mathrm{f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x}}}\), maka nilai dari f ‘(4) adalah …

Jawab :
f(x) = 2x.x\(^{-\frac{1}{2}}\)
f(x) = 2x\(^{\frac{1}{2}}\)

f ‘(x) = 2.\(\frac{1}{2}\)x\(^{\frac{1}{2}-1}\)
f ‘(x) = x\(^{-\frac{1}{2}}\)
f ‘(x) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

f ‘(4) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{4}}}\)
f ‘(4) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)

Latihan 4
Jika \(\mathrm{f(x)=(x^2+x+1)^4}\), nilai f ‘(0) adalah…

Jawab :
f ‘(x) = 4(x² + x + 1)^4-1 (2x + 1)
f ‘(x) = (8x + 4)(x² + x + 1)³

f ‘(0) = (8(0) + 4)((0)² + 0 + 1)³
f ‘(0) = 4

Latihan 5
Jika \(\mathrm{f(x)=\sqrt[4]{(4x-3)^3}}\), tentukan nilai dari f ‘(1)

Jawab :
f(x) = (4x − 3)\(^{\frac{3}{4}}\)

f ‘(x) = \(\frac{3}{4}\)(4x − 3)\(^{\frac{3}{4}-1}\). 4
f ‘(x) = 3(4x − 3)\(^{-\frac{1}{4}}\)
f ‘(x) = \(\mathrm{\frac{3}{\sqrt[4]{4x-3}}}\)

f ‘(1) = \(\mathrm{\frac{3}{\sqrt[4]{4(1)-3}}}\)
f ‘(1) = \(\mathrm{\frac{3}{1}}\)
f ‘(1) = 3

Latihan 6
Turunan dari \(\mathrm{f(x)=\left ( x-1 \right )^{2}\left ( 2x+3 \right )}\) adalah…

Jawab :
Misalkan :
u = (x − 1)²  ⇒ u’ = 2x − 2
v = 2x + 3    ⇒ v’ = 2

f ‘(x) = u’v + uv’
f ‘(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2
f ‘(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)
f ‘(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2
f ‘(x) = 6x² − 2x − 4
f ‘(x) = (x − 1)(6x + 4)  atau
f ‘(x) = (2x − 2)(3x + 2)

Latihan 7
Jika \(\mathrm{y=\frac{ax+b}{cx+d}}\) ; cx + d  ≠ 0, maka turunan y terhadap x adalah …

Jawab :
Misalkan :
u = ax + b  ⇒ u’ = a
v = cx + d  ⇒ u’ = c

y’ = \(\mathrm{\frac{u’.v-u.v’}{v^2}}\)
y’ = \(\mathrm{\frac{a(cx+d)-(ax+b)c}{(cx+d)^2}}\)
y’ = \(\mathrm{\frac{acx+ad-acx-bc}{(cx+d)^2}}\)
y’ = \(\mathrm{\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}}\)

Latihan 8
Carilah f ‘(x) jika diketahui \(\mathrm{\frac{d}{dx}[f(2x)]=x^2}\)

Jawab :
Misalkan :
\(\mathrm{u=2x\Rightarrow x=\frac{u}{2}}\)
\(\mathrm{\Rightarrow \frac{d}{dx}[f(u)]=(\frac{u}{2})^2}\)

Dengan aturan rantai :
\(\mathrm{\frac{d}{dx}[f(u)]}\) = \(\mathrm{\frac{df(u)}{du}\times\frac{du}{dx}}\)

⇔ \(\mathrm{(\frac{u}{2})^2}\) = f ‘(u) × 2
⇔ f ‘(u) = \(\mathrm{\frac{1}{2}(\frac{u}{2})^2}\)
⇔ f ‘(u) = \(\mathrm{\frac{1}{8}u^2}\)

⇒ f ‘(x) = \(\mathrm{\frac{1}{8}x^2}\)